f(x):= exp(-x^{-1}) für x>0 und f(x):=0 für x≤0 ist analytische Funktion. Beweisen.

Question

Weiß nicht wirklich wie ich ansetzen kann. Hoffe mir kann wer helfen.

Comments

Die funktion ist unendlich oft diffbar, das ist klar. Die Potenzreihenentwicklung habe es mitlerweile mit der exp-reihe versucht.
Nach einigem umstellen bin ich auf
_k=0∑^∞ (-1)^k * x^{-k}/k!  gekommen.

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Da für x = 0 die Reihe den Wert 0 annimmt und sonst für x ≠ 0 den konv. Radius ∞ hat ist sie im Urpsung nicht analytisch. Kann ich so argumentieren?

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Die funktion ist unendlich oft diffbar, das ist klar. 

Wie bist Du da drauf gekommen? Ich kenne nur eine Methode und bei der faellt auch ab, dass alle Ableitungen im Nullpunkt verschwinden.

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Die erste ableitung ergibt ein Polynom * exp(-x^{-1}). Dies kann man induktiv weiterführen.

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Also jedenfalls kommt als Potenzreihe nur die Taylorreihe infrage. Das waere dann die Nullreihe. Die stellt aber ersichtlich für kein x>0 die Funktion dar. Fertig, nicht analytisch im Nullpunkt.

Deine Reihe ist gar keine Potenzreihe. Warum soll daraus etwas ueber die Moeglichkeit, doch eine anzugeben, folgen?