Wir haben also eine nach unten geöffnete Parabel. Das Einbeschreiben eines Rechtecks kann man vereinfacht ausrechnen indem man nur den einen Ast der Parabel betrachtet. Dafür bestimmen wir zuerst den Scheitelpunkt.
f'(x)=-4x-5=0
x=-1,25
Wir berechnen hier also zunächst nur die halbe rechtsecksfläche bzw. maximieren diese.
A = a*b , hierbei ist
a = -1,25 - x , und
b = f (x) , ergibt
A (x) = (-1,25 - x)*(-2x^2 - 5x)
= 2,5x^2 + 6,25x + 2x^3 +5x^2
= 2x^3 + 7,5x^2 + 6,25x
A'(x)= 6x^2 + 15x + 6,25 = 0
x^2 + 2,5 x + 25/24 = 0
x_12 = - 1,25 +- wurzel (25/16 - 25/24)
= - 1,25 +- Wurzel (75/48 - 50/48)
= - 1,25 +- Wurzel (25/48)
x_1 = - 1,25 + 5*wurzel (1/48) = -0,528
x_2 = - 1,25 - 5*wurzel (1/48) = - 1,972
Es fällt auf, dass die x-Koordinate unseres Scheitelpunktes genau zwischen den beiden Lösungen liegt:
-1,25+0,528=0,722
-1,25+1,972=-0,722
Damit sind die beiden x-werte schon die beiden x-Koordinaten der beiden Punkte auf der x-Achse:
P1 (-1,972/0) und P2 (-0,528/0)
Beide x-werte führen zu demselben y-wert:
f (-0,528)=-2*(-0,528)^2-5*(-0,528)=2,082
Auf der x-Achse ergibt sich die Strecke
1,972 - 0,528 = 1,444
Damit ergibt sich die Fläche
A = 1,444 * 2,082 = 3
