Summenumformung Beweis, warum ist mein ursprünglicher Ansatz falsch

Question

Ich wollte folgendes beweisen: $$ \sum_{k=1}^{n}{k}=\sum_{k=1}^{n}{n-k+1}  $$ Den Beweis habe ich inzwischen durch einfache Äquivalenzumformungen und der Summenformel durchgeführt.

Mein erster Ansatz war jedoch:

$$ \frac { n(n+1) }{ 2 }=\frac { (n-k+1)((n-k+1)+1 )}{ 2 }  $$

Ich dachte k kürzt sich einfach raus, das war aber nicht der Fall....

Warum geht das nicht?

Answer 1

Dein rechter Bruch ist falsch. Links stehen die Summanden von 1 bis n und rechts stehen die Summanden von n bis 1.

Comments

Danke :)
Wie müsste der Bruch rechts eigentlich aussehen?

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Genau so, wie auf der linken Seite. Die Reihenfolge der Summanden spielt für die Summenformel keine Rolle. Die Formel sagt: Berechne das Produkt aus der Summe von erstem und letzem Summanden und der halben Anzahl der Summanden. Rechts heißt der erste Summand n und der letzte 1. S= (n+1)·n/2 ist also die Summe rechts.