Beweis dafür, dass 1^2+2^2+...+n^2=n*(n+1)(2n+1)/6

Question

wie beweist man, dass

1^2+2^2+...+n^2=n*(n+1)(2n+1)/6 gilt?

Comments

https://www.google.de/?q=summe+quadratzahlen

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Alternative: Rubrik "ähnliche Fragen"

z.B. https://www.mathelounge.de/369564/vollstandige-induktion-summe-von-quadratzahlen-n-n-1-2n-1-6 Beweis mit vollstämndiger Induktion.

Answer 1

Am besten durch vollständige Induktion. Im Induktionsschluss muss aus 1²+2²+...+n²=n*(n+1)(2n+1)/6 gefolgert werden, dass 1²+2²+...+n²+(n+1)²=(n+1)*(n+2)(2(n+1)+1)/6 gilt.

Wir beginnen mit der Induktionsvoraussetzung 1²+2²+...+n²=n*(n+1)(2n+1)/6  und addieren auf beiden Seiten (n+1)² und erhalten 1²+2²+...+n²+(n+1)²=n*(n+1)(2n+1)/6+(n+1)². Links vom Gleichheitszeichen ist bereits alles klar. Wir betrachten nur die rechte Seite: n*(n+1)(2n+1)/6+(n+1)²= (2n³+3n²+n)/6+(6n²+12n+6)/6 =(2n³+9n²+11n+6)/6. Jetzt (n+1)*(n+2)(2(n+1)+1)/6 ausmultiplizieren und vergleichen.