Erkenne das Muster nicht, um die Induktionsbehauptung aufzustellen

Question

  $$(\frac { 1}{ 2^n+1 }+...+\frac { 1}{ 2^n+2^n}) \neq(\frac { 1}{ 2^n+2^n }+...+\frac { 1}{ 2^n+2^n })\\= 1+ n/2+2^n\cdot \frac { 1}{ 2^n+2^n } \\~~Warum~2^n ~mal~\frac { 1}{ 2^n+2^n }?$$

Wie kommt man auf die Induktionsbehauptung? Ich erkenne das Muster nicht?

Achtung: Gleichheitszeichen sind etwas schwer zu erkennen

Answer 1

Hallo Edelnuß,

die Induktionsbehauptung steht doch schon da. Man kann das ganze auch mit Summenzeichen ausdrücken:

$$ C(n): \sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} \geq 1 + \frac{n}{2} $$

Dein zweites Gleichheitszeichen ist falsch. Wenn es dir um die Summe in der Klammer geht:

Hier wird nach unten abgeschätzt. Es ist

$$\frac{1}{2^n+k} \geq \frac{1}{2^n+2^n} \text{ für } 1 \leq k \leq 2^n $$

Und du hast \(2^n\) Summanden jeweils in beiden Klammern. Daher der Faktor.

Gruß,