gruppe oder kommutative gruppe

Question

$$ Geben Sie für das nachstehende Objekt an, ob es sich um einen Ring oder einen Körper handelt. Begründen Sie ihre Entscheidung.M=○{a,b}, die beiden Verknüpfungen seien definiert durcha○a=a, a○b=b, b○a=b, b○b=a,a*a=a, a*b=a, b*a=a, b*b=b$$

Answer 1

studiere erst mal  M , o   und  M , *

o      a       b          *       a        b     

a      a       b          a      a         a

b      b       a          b      a         bund vergleiche mit den Axiomen für Ringe bzw. Körper.

für einen Ring muss eins von beiden eine kommutative

Gruppe sein. Das kann nur  ( M , o ) sein.

Prüfe die Gruppenaxiome ( neutral ist a )

und du wirst sehen: stimmt.

Also ist o sozusagen die Addition und

demnach * die Multiplikation. 

Und da gelten auch die ganzen Axiome und
es hat außer 0 ( also außer a) jedes Element ( bleibt

fa nur b ) ein    Inverses .


Es ist dies also ein Körper, isomorph zu ( { o;1 } , + , * )