Kann man die reellen Zahlen mit unendlich vereinigen? Wenn ja, warum?

Question

Im unteren Teil des Abschnitts wird ℝ durch +-unendlich erweitert, also zur Menge: ℝ_neu = ℝ∪{+-∞}
Warum geht das, wenn "unendlich" keine richtige Zahl ist, sondern nur ein Abstraktum , also auch kein Element oder?

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Rechenregeln_der_bestimmten_Divergenz#Produktregel

Answer 1

Mathematik ist keine Ontologie. Sie sagt Dir auch nicht, was reelle Zahlen wirklich sind. Da die Symbole ±∞ keine reellen Zahlen sein sollen, kann man sie zu ℝ hinzufuegen, und bekommt eine echt groessere Menge. Sinvoll wird das Ganze spaetestens dann, wenn man auch noch brauchbare Rechenregeln, die ±∞ einschliessen, aufstellen kann. Mehr wird nicht verlangt.

Answer 2

man erweitert tatsächlich die reellen Zahlen zu den "erweiterten reellen Zahlen" durch Hinzunahme von \( \pm\infty \) und bezeichnet diese oft mit \( \hat{\Bbb R} \).

Man macht dies, um bei (Grenz-)Werten von/mit \( \pm\infty \) einfacher rechnen zu können, und nicht immer Ausnahmefälle oder Fallunterscheidungen durchführen zu müssen.

Bei der Erweiterung muss man allerdings auch Regeln einführen, wie mit \( \pm\infty \) nun zu rechnen ist, da natürlich \( \infty+\infty = 2\infty \) nicht richtig ist.

Grüße,

M.B.

Answer 3

Wie du schon sagst: "∞ ist keine Zahl" aber warum soll man ℝ nicht um irgenetwas, z.B. ein Wikibook ergänzen können. ℝ_neu ist dann eine Menge, die nicht nur Zahlen aus ℝ  enthält.