> "Meine Lehrer an der Schule und Wikipedia sagen mir, dass 1/u = 0 ist(u = unendlich)."
Was deine Lehrer sagen, weiß ich nicht. Wikipedia sagt das jedenfalls nicht. Dort steht ausdrücklich: "Auch die folgenden Regeln sind zu lesen als Aussagen über Folgen, die entweder a oder u als Grenzwert haben. Dass sie mit einem Gleichheitszeichen geschrieben werden, erlaubt nicht, sie wie Gleichungen zu behandeln." (https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlich#Weitere_Operationen_mit_.E2.88.9E)
Der Quotient 1/u ist nicht 0, sondern nicht definiert. u ist keine Zahl, und kann daher weder Operand noch Ergebnis einer Rechenoperation sein.
Sind zwei Folgen (an) und (bn) gegeben, so kann ich auch die Folge der Quotienten (an/bn) bilden und fragen, ob bzw. unter welchen Bedingungen ich von den Grenwerten von (an) und (bn) auf den Grenzwert von (an/bn) schließen kann.
1/u = 0 wird manchmal als Kurzschreibweise verwendet und besagt, dass wenn zwei Folgen (an) und (bn) gegeben sind, und wenn gilt an->1 und bn->u, dass dann auch gilt an/bn->0. Es besagt nicht, dass 1/u defniert wäre und nicht dass der Quotient 1/u gleich 0 wäre. Dieser Quotient ist nicht definiert!
Die Kurzschreibweise kann man eben deswegen verwenden, weil man weiß, dass u keine Zahl ist und daher der Ausdruck 1/u nicht für eine Rechenoperation (für einen Quotienten) stehen kann.
> Ich bin der Meinung, dass das falsch ist
Es ist ja auch falsch. Der Quotient 1/u ist nicht definiert.
u/u ist ein unbestimmter Ausdruck. Das besagt, dass wenn zwei Folgen (an) und (bn) gegeben sind, und wenn gilt an->u und bn->u, dass dann nicht auf den Grenzwert von (an/bn) geschlossen werden kann. Sondern der Grenzwert der Folge der Quotienten kann in Abhängigkeit von (an) und (bn) jeden beliebigen Wert liefern.
Insbesondere ist u/u nicht 1. Es ist überhaupt kein Quotient, sondern ebenso wie 1/u ist das eine Kurzschreibweise für die Folge der Quotienten (an/bn), wobei an->u und bn->u. Wenn man diese Bedingungen weglässt, wird sowas wie u/u unsinnig. Lasse also solche Bedingungen nicht weg, sie sind wichtig!
> Unendlich macht alles kaputt!
Aus eben den Gründen, die du genannt hast, ist der Quotient 1/u nicht definiert.
> f(x) = sin x / |sin x|
Das ist eine stückweise konstante Funktion. Sie ist zwischen je zwei Nullstellen des Sinus konstant gleich +1 (wenn zwischen diesen Nullstellen sin(x)>0) bzw. konstant gleich -1 (wenn zwischen diesen Nullstellen sin(x)<0). Die Steigung ist überall, wo sie definiert ist, gleich 0. An den Nullstellen des Sinus ist diese Funktion nicht definiert.
Dagegen: Die Funktion f(x)=Wurzel(x) hat in der Tat an der Stelle x=0 eine senkrechte Tangente. Aber da ist die Ableitung ja auch nicht definiert.