Warum ist 1/Unendlich = 0? Beispiel Sockenproblem.

Question

Ich habe ein Problem mit Unendlich. Meine Lehrer an der Schule und Wikipedia sagen mir, dass 1/∞ = 0. Ich bin der Meinung, dass das falsch ist und daraus ein Hirngespinst resultiert, dass wir einfach keine Vorstellung von Unendlich haben.

Warum ich der Meinung bin, dass Unendlich eine Neudefinition braucht, möchte ich im Folgenden erläutern.

1. Das Sockenproblem

Ich habe 1 Paar Socken. Eine dieser Socken ist mir leider verloren gegangen. Um auszurechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, meine Socke an einer bestimmten Stelle wiederzufinden, erfinde ich jetzt den Sockenquotienten.

Sockenqoutient S = Anzahl der Socken / Größe des Raumes (in dem ich suchen muss).

Da das Universum bekanntlich unendlich ist, setze ich die Größe des Raumes auf unendlich. Schließlich kann meine Socke ja überall sein - theoretisch. Die Anzahl der zu Suchenden Socken ist 1. Das bedeutet:

S = 1/u

Laut Wikipedia wäre die Chance, dass meine Socke an einem bestimmten Ort ist 0.

Wenn ich also die Chance, dass meine Socke an einem bestimmten Ort ist, mit allen möglichen Orten multipliziere, ergibt sich daraus die Anzahl meiner Socken - Einfachste Stochastik.

0 * u = 0

Anscheinend ist meine Socke nicht existend. Übrigens genauso wenig wie wir selber, schließlich sind auch wir in einem unendlich großem Raum. Tatsächlich habe ich halt immer eine Chance meine Socke zu finden. Die ist allerdings unendlich klein.

Hätte ich unendlich viele Roboter, die meine Socke suchen sollen, hätte ich einen für jeden möglichen Ort.

(u/u) = 1

Trotzdem würde ich meine Socke nicht finden, da jeder die Chance 0 hat die Socke zu finden.

Daher bin ich der Meinung: (1/u)*u = 1. Toll, und plötzlich ist alles wieder alles mathematisch logisch.

2. Unendlich macht alles kaputt

Ich habe das Gefühl, dass 1/u = 0 wirklich alles kaputt macht. Hier ein kleines Beispiel:

f(x) = sin x / |sin x|

Ja, hier wäre dann eine unendliche Steigung, dass heißt, hier ist an einer bestimmen Stelle x unendlich viele Lösungen für f(x) vorhanden. Unschön, oder?

Ich weiß nicht, was ich von all dem halten soll.

Answer 1

Unendlich selbst ist keine Zahl, sondern ein Ausdruck, der einfach nur "größer als jede beliebige Zahl" bedeutet.

Wenn du nun eine beliebige Zahl durch etwas teilst, das größer ist als jede andere beliebige Zahl, dann wird das Ergebnis zwangsläufig 0 sein. Der Mathecoach hat dazu ein gutes Beispiel geliefert.

 

Wenn du aber 0 mit einer beliebig großen Zahl malnimmst, ergibt das immer 0: bedeutet das, dass auch 0*Unendlich 0 ergibt?
Nein, nicht zwingend. Es gibt eine Reihe sogenannter unbestimmter Ausdrücke, die sich bei der Grenzwertbestimmung von Folgen ergeben können. Diesen Ausdrücken lässt sich kein allgemeiner Wert zuordnen - es muss von Fall zu Fall unterschiedlich vorgegangen werden.

Solche Ausdrücke sind z.B:
0*∞, ∞/∞, 0/0, 1^∞, 0⁰ und ∞-∞

Was dabei herauskommt ist wie gesagt völlig unklar, meistens ist eigentlich die ganze Bandbreite möglich, ob nun 0, eine bestimmte reelle Zahl oder eben Unendlich.

 

Ein gutes Beispiel ist die Folge

a_n = (1+1/n)ⁿ

Der Ausdruck in der Klammer nähert sich für großes n immer mehr der 1 an, der Exponent geht gegen Unendlich. Was da steht ist also ein unbestimmter Ausdruck der Form 1^∞.

Man könnte denken, wenn man unendlich oft die 1 mit sich selbst malnimmt, muss immer noch 1 rauskommen, tatsächlich ist das Ergebnis allerdings rund 2,7181, also die eulersche Zahl e.

 

Bei deinem Beispiel mit den Socken müsste man genauso vorgehen. Die Frage ist, "wieviel" unendlich Roboter auf die Suche gehen.

Tatsächlich gibt es unterschiedliche Arten von Unendlichkeit: es gibt abzählbar unendliche Mengen, bei denen man die Elemente in eine Reihenfolge bringen und mit den natürlichen Zahlen {1, 2, 3, 4, ...} durchnummerieren kann.

Und dann gibt es die überabzählbar unendlichen Mengen, bei denen funktioniert das nicht. Ein Beispiel sind die Reellen Zahlen, es gibt keine Möglichkeit die zu sortieren.

Comments

Mich würde es noch wundernehmen, wie man auf die Eulerische Zahl kommt! (Auf die beschriebene Weise)

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Erster Satz richtig.

Zweiter widerspricht sich selber:

Wenn du nun eine beliebige Zahl durch etwas teilst, das größer ist als jede andere beliebige Zahl, dann wird das Ergebnis zwangsläufig ""kleiner als jede andere beliebige Zahl".

1/unendlich ist unendlich klein aber ganz bestimmt nicht Null.

Ausserdem ist Null nicht nichts.

Answer 2

Der Grenzwert für 1 / ∞ ist Null. Der Term selber wird allerdings nie 0.

Also wenn ich ein Euro durch eine unendliche Anzahl an Personen teil, bekommt jeder einen noch so verschwindend geringen Teil. Es bekommt aber jeder etwas. Daher ist es nicht Null. Aber durch je mehr Leute ich es Teile um so kleiner wird der Teil den jeder bekommt. Der Anteil geht also gegen Null.

Answer 3

> "Meine Lehrer an der Schule und Wikipedia sagen mir, dass 1/u = 0 ist(u = unendlich)."

Was deine Lehrer sagen, weiß ich nicht. Wikipedia sagt das jedenfalls nicht. Dort steht ausdrücklich: "Auch die folgenden Regeln sind zu lesen als Aussagen über Folgen, die entweder a oder u als Grenzwert haben. Dass sie mit einem Gleichheitszeichen geschrieben werden, erlaubt nicht, sie wie Gleichungen zu behandeln." (https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlich#Weitere_Operationen_mit_.E2.88.9E)

Der Quotient 1/u ist nicht 0, sondern nicht definiert. u ist keine Zahl, und kann daher weder Operand noch Ergebnis einer Rechenoperation sein.

Sind zwei Folgen (a_n) und (b_n) gegeben, so kann ich auch die Folge der Quotienten (a_n/b_n) bilden und fragen, ob bzw. unter welchen Bedingungen ich von den Grenwerten von (a_n) und (b_n) auf den Grenzwert von (a_n/b_n) schließen kann.

1/u = 0 wird manchmal als Kurzschreibweise verwendet und besagt, dass wenn zwei Folgen (a_n) und (b_n) gegeben sind, und wenn gilt a_n->1 und b_n->u, dass dann auch gilt a_n/b_n->0. Es besagt nicht, dass 1/u defniert wäre und nicht dass der Quotient 1/u gleich 0 wäre. Dieser Quotient ist nicht definiert!

Die Kurzschreibweise kann man eben deswegen verwenden, weil man weiß, dass u keine Zahl ist und daher der Ausdruck 1/u nicht für eine Rechenoperation (für einen Quotienten) stehen kann.

 

> Ich bin der Meinung, dass das falsch ist

Es ist ja auch falsch. Der Quotient 1/u ist nicht definiert.

 

u/u ist ein unbestimmter Ausdruck. Das besagt, dass wenn zwei Folgen (a_n) und (b_n) gegeben sind, und wenn gilt a_n->u und b_n->u, dass dann nicht auf den Grenzwert von (a_n/b_n)  geschlossen werden kann. Sondern der Grenzwert der Folge der Quotienten kann in Abhängigkeit von (a_n) und (b_n) jeden beliebigen Wert liefern.

Insbesondere ist u/u nicht 1. Es ist überhaupt kein Quotient, sondern ebenso wie 1/u ist das eine Kurzschreibweise für die Folge der Quotienten (a_n/b_n), wobei a_n->u und b_n->u. Wenn man diese Bedingungen weglässt, wird sowas wie u/u  unsinnig. Lasse also solche Bedingungen nicht weg, sie sind wichtig!

> Unendlich macht alles kaputt!

Aus eben den Gründen, die du genannt hast, ist der Quotient 1/u nicht definiert.

 

> f(x) = sin x / |sin x|

Das ist eine stückweise konstante Funktion. Sie ist zwischen je zwei Nullstellen des Sinus konstant gleich +1 (wenn zwischen diesen Nullstellen sin(x)>0) bzw. konstant gleich -1 (wenn zwischen diesen Nullstellen sin(x)<0). Die Steigung ist überall, wo sie definiert ist, gleich 0. An den Nullstellen des Sinus ist diese Funktion nicht definiert.

Dagegen: Die Funktion f(x)=Wurzel(x) hat in der Tat an der Stelle x=0 eine senkrechte Tangente. Aber da ist die Ableitung ja auch nicht definiert.

 

Answer 4

Ich finde deine Frage genial, genauso wie das Sockenbeispiel ^^

Ich versuche es grade relativ simpel zu lösen, da bei habe ich im Kopf das es weder Unendlich noch Nichts (0) gibt, ich versuche es grade mit Unvorstellbar Groß und unvorstellbar klein !

Mich stört das man so etwas nicht zurückrechnen kann, ich lese mit Absicht nichts zu ähnlichen Themen um mich nicht manipulieren zu lassen^^
Anfangs ging ich von festzahlen aus doch 1u x 1u =1u ist unbefriedigend, ich setze mich mit dem Thema weiter auseinander, in absehbarer Zeit komme ich mit einer Lösung, dann lasse ich hier Fehler suchen.

Auf jeden Fall löst es dein Problem, da das Universum nicht unendlich sondern unvorstellbar Groß ist, ist deine Chance nur unvorstellbar klein o.ä.

Kritikfähige Theorien folgen !

Legende:

u = unendlich

Comments

Müsste 1u×1u nicht u^2 sein? Da 1×u×1×u=1×1×u×u=1×u×u=1×u^2 ... Ist mir nur grade aufgefallen, als ich auf der Suche nach einer Antwort zum Thema 0×unendlich war :'D

Answer 5

Das schöne Sockenproblem mag als Problem verbleiben, trotz der gestochen scharfen Antworten hier. Oft kann man mit falschen Konzepten gute Ergebnisse erzielen. Das Konzept Unendlichkeit lässt in der QED und anderen Naturwissenschaftlichen Theorien 1a einsetzen. Ohne die Existenz einer Socke lässt sich nichts finden, mit einer Socke auch nichts. Sogar 10 hoch 100 Socken sind statistisch nicht auffindbar. Über 4000 Jahre hätte jeder darauf geschworen, dass alle Wahrheiten beweisbar sind, und dann kommt Gödel daher, und beweist Unbeweisbarkeit. Beim Thema Unendlichkeit ist Vorsicht geboten. Unsere bisherigen Antworten fischen im trüben.

Comments

Das Weltall dehnt sich unendlich aus. Frag sich, wohinein?

Oder schafft es sich den Raum selbst, in den hinein es sich ausdehnt?

Doch wie? Von nix kommt nix! Woher kommt also der leere Raum?