Vorgabe:
1 Satz. Für beliebige Mengen \( A, B \) und \( C \) gilt: \( (A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C) \).
2 Beweis: Setze \( L:=(A \cap B) \cup C \) und \( R:=(A \cup C) \cap(B \cup C) \). Wir müssen zeigen: Für jedes \( x \) gilt: \( x \in L \) gdw. \( x \in R \).
4 Wir machen eine Fallunterscheidung danach, ob \( x \) in \( C \) liegt oder nicht.
5 Fall 1: \( x \in C \).
6 Dann ist \( x \in L \) (nach Definition von \( \cup \) ). Außerdem ist \( x \in A \cup B \) und \( x \in B \cup C \) (auch nach Definition von \( \cup \) ), und damit \( x \in R \) (nach Definition von \( \cap \) ).
8 In diesem Fall gilt also insbesondere: \( x \in L \) gdw. \( x \in R \).
9 Fall 2: \( x \notin C \).
10 Dann gilt nach Definition von \( \cap: x \in L \Longleftrightarrow x \in A \cap B \); also ist \( x \in L \) gdw. \( x \in A \) und \( x \in B \) (nach
11 Definition von \( \cap \) ).
12 Außerdem: \( x \in R \) gdw. \( x \in A \cup C \vee x \in B \cup C \) (nach Definition von \( \cap \) ). Da \( x \notin C \), ist das (nach Definition 13 von \( \cup \) ) äquivalent zu: \( x \in A \vee x \in B \).
14 Also gilt auch in Fall 2: \( x \in L \) gdw. \( x \in R \).
In dem "Beweis" oben sollen 4 mathematische Tippfehler sein. Genauer gesagt es sind vier falsche Symbole oder Variablen. Ich finde aber nur einen Fehler. Den Fehler den ich finde ist in der 6. Zeile, denn dort steht A U B anstatt A U C. Aber sonst bin ich anscheinend blind.
