gütlige x-Werte für Ungleichungen

Question

gesucht sind alle x ∈ ℝ, für die gilt:

a)   $$   \frac { x+4 }{ x-2 } < x $$

b)  $$ | \frac { x+4 }{ x-2 }| < x $$

(ja, das bei b) sind Betragsstriche)

Ich komme bei beiden der Aufgaben leider nicht so weiter, vor allem da die gültigen x Werte wirklich zu bestimmen sind/ man einen Lösungsweg benötigt (nicht nur durch rumprobieren). Allerdings weiß ich nicht, wie man das tut. Eine Vorgehensweise würde mir da schon genügen.

Vielen lieben Dank schon mal!

Answer 1

Hallo ponguin, 

a) 

(x+4) /(x-2) < x         D = ℝ \ { 2 }

mit (x-2) multiplizieren,  für x<2 ändert sich dann das  <  zu  >  :

Fallunterscheidung:

1.Fall:  x>2  

x+4 < x * (x-2)

x+4 < x² - 2x | - x | - a | ↔

x² -3 x - 4 > 0

Mit der pq-Formel erhältst du die Nullstellen  x₁ = -1 und x₂ = 4 des linken Parabelterms. Letzterer stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar und hat seine positiven Werte außerhalb des Bereichs zwischen den Nullstellen:

L₁ =  ] 4 ; ∞ [      (x>2!)

2.Fall:  x<2

x+4  > x * (x-2)

x+4  > x² - 2x     | - x | - a | ↔

x² -  3 x - 4 < 0

die negativen Werte des Parabelterms liegen natürlich zwischen den Nullstellen:

L₂ = ] -1 ; 2 [       (x<2!)

L = L₁ ∪ L₂ =  ] -1 ; 2 [ ∪  ] 4 ; ∞ [ 

Gruß Wolfgang

Comments

Danke.. habs jetzt verstanden~

Aber noch eine Frage zur b.. ist es möglich einfach zu sagen, dass der 2. Fall wegfällt (durch den Betrag) und deswegen x>4? Oder ist das jetzt Blödsinn?

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Der Term im Betrag hat die Nullstelle x = - 4  und die Definitionslücke x= 2 . Nur an diesen Stellen kann er sein Vorzeichen ändern.

Nachtrag:  x<0 entfällt, weil der Betrag nicht negativ sein kann. 

Unterscheide also die Fälle  0 ≤  x < 2  und x > 2

Dann kannst du den Betrag auflösen:

|...|  fällt weg, wenn der Wert des Terms  im Betrag ≥0  ist, Sonst kann man den Betrag weglassen, wenn man den Term klammert und ein Minuszeichen davorsetzt.

Dann weiter wie bei a) verfahren.

Kontrolllösung:

L = ] 4 ; ∞ [

Answer 2

a) Bringe x nach links und auf den Hauptnenner, dann Fallunterscheidung.

Faktorisiere dazu den Zähler und überlege, wann ein Bruch kleiner Null wird.

Comments

ich hab das jetzt so umgeformt..

$$  \frac { -x^2 - x +4 }{ x-2 } < 0 $$

Aber was sollte ich da faktorisieren.. und was soll mir das dann bringen?