Analysis Lebesgue integrierbar, Ausschöpfung

Question

ich soll zeigen, dass f(x)=xe^{-x} Lebesgue integrierbar über I=[0,∞) ist und das Integral bestimmen.

der Hinweis ist Ausschöpfung

Meine Idee:

∫xe^{-x} dx= [-e^{-x}*(x+1)]=(-e^{-R}*(R+1))- (-e^0*(0+1))

und mit lim (R→∞) ist es 1, da e^x schneller gegen ∞ läuft als R

und deswegen ist es Lebesgue integrierbar

ist das so richtig?

Comments

Du hast mit Deiner Rechnung ohne weiteren Kommentar nur gezeigt, dass das uneigentliche Integral im Riemannschen Sinne existiert. Zum Thema Lebesgue und Ausschoepfung sehe ich bei Dir nichts.