Ist meine Lösung richtig? 18*2^{7x-1}=2*5^{5x-1} Logarithmus

Question

Ich habe diese Gleichung gelöst: 18*2^7x-1=2*5^5x-1

und kam auf das Ergebnis x = -25,8440

Ist die Lösung richtig oder Flasch, wenn falsch dann bitte einmal mit Rechenweg wäre nett, danke

Comments

Die Lösung ist falsch, die richtige Lösung ist x = 0.974447599816. Ich schreibe den Rechenweg gleich in eine Antwort.

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> kam auf das Ergebnis x = -25,8440

Führe eine Probe durch.

Answer 1

$$18\cdot 2^{7x-1}=2\cdot 5^{5x-1}$$

$$9\cdot 2^{7x-1}=5^{5x-1}$$

Entlogarithmieren:

$$\ln(9\cdot 2^{7x-1})=\ln(5^{5x-1})$$

$$\ln(9)+\ln(2^{7x-1})=\ln(5^{5x-1})$$

$$\ln(9)+(7x-1)\cdot \ln(2)=(5x-1)\cdot \ln(5)$$

$$\ln(9)+7x\cdot \ln(2)-\ln(2)=5x\cdot \ln(5)-\ln(5)$$

$$7x\cdot \ln(2)-5x\cdot \ln(5)=\ln(2)-\ln(5)-\ln(9)$$

$$x\cdot (7\cdot \ln(2)-5\cdot \ln(5))=\ln(2)-\ln(5)-\ln(9)$$

$$x=\frac{\ln(2)-\ln(5)-\ln(9)}{7\cdot \ln(2)-5\cdot \ln(5)}$$

$$x \approx 0.974447599816.$$

Answer 2

$$ 18 \cdot 2^{7x-1} = 2 \cdot 5^{5x-1} $$

$$ 9 \cdot 2^{7x} = {2\over5} \cdot 5^{5x} $$

$$ 9 \cdot 128^x = {2\over5} \cdot 3125^x $$

$$ {45\over2} = \left( {3125 \over 128} \right)^x $$

$$ \ln {45\over2} = x \ln {3125 \over 128} $$

$$ x = {\ln {45\over2} \over \ln {3125 \over 128}} $$

Grüße,

M.B.

Answer 3

Die Lösung ist

$$  x = \frac{ \ln(18)-2 \cdot \ln(2) +\ln(5) }{5 \cdot \ln(5)- 7 \cdot \ln(2)} $$

Die Lösung bekommt man, wenn man beide Seiten logarithmiert und dann nach \( x \) auflöst.