Partielles Differenzieren mit Vektor. Kann mir jemand diese Umformung erklären?

Question

ich kann einen Umformungsschritt in meinem Lehrbuch nicht nachvollziehen.

$$E_D (\vec{r})= - \frac{1}{4\pi \epsilon _0} \sum_{i}^{}p_i \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\vec{r}}{r^3}= - \frac{1}{4\pi \epsilon _0} \sum_{i}^{}p_i (\frac{\vec{e} _i}{r^3} - \frac{3r}{r^4} \frac{x_i}{r})$$

Könnte das bitte jemand mit Zwischenschritt aus differenzieren.

Answer 1

Hier mal die zweite partielle Ableitung (Die andern beiden gehen gleich). Rot und fett sind Vektoren.

d/dx2 ( r / r^3)

= d/dx2 ( (x1*e1 + x2*e2 + x3*e3) * r^{-3} )      | Produktregel.

= 1*e2 * r^{-3} + (x1*e1 + x2*e2 + x3*e3) * (-3) * r^{-4}

= e2 / r^{3}  -3 (r) / r^{4}