Wie kann ich die folgende Abbildung differenzieren?

Question

Gegeben seien die Funktionen f, g ∈ C¹(ℝ).

Wie kann ich die folgende Abbildung differenzieren?

ℝ → ℝ: x ↦ ∫^x₀ f(x-t)g(t)dt

Comments

Steht da nicht ein Integral?

Answer 1

Siehe hier mit \( o(x) = x \) und \( u(x) = 0 \) sowie \( h(t,x) = f(x-t)g(t) \)

https://www.massmatics.de/merkzettel/index.php#!137:Die_Leibniz-Regel_bei_Parameterintegralen

Answer 2

Aloha :)

Normalerweise kann man die Ableitung bei stetig differenzierbaren Funktionen (wie hier) als partielle Ableitung unter das Integral ziehen. Hier hängt aber noch die obere Integrationsgrenze von \(x\) ab, daher wird der Ausdruck etwas fummeliger:$$\frac{d}{dx}\int\limits_0^xf(x-t)g(t)\,dt=\int\limits_0^x\frac{\partial f(x-t)}{\partial x}g(t)\,dt+f(x-x)g(x)\frac{dx}{dx}$$$$=\int\limits_0^x\frac{\partial f(x-t)}{\partial x}g(t)\,dt+f(0)g(x)$$

Also: Ableitung als partielle Ableitung unter das Integral ziehen PLUS obere Grenze in den Integranden einsetzen mal Ableitung der oberen Grenze MINUS untere Grenze in den Integranden einsetzen mal Ableitung der untere Grenze. [Leibniz-Regel]

Comments

Könntest du es bitte vorrechnen? Es fällt mir wirklich schwer :/

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Das würde ich gerne tun, aber dafür müsste ich konkrete Funktionsterme für \(f\) und \(g\) haben. Ohne diese kann ich dir nur die allgemeine Rechenregel von oben angeben.

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Es sind nur f(x−t) und g(t) angegeben, das bereitet mir ja so Probleme...

So wie es oben steht, Differenzen des Integrals von 0 bis x von f(x-t)g(t)dt