Infimum bei unendlichen Folgen bestimmen

Question

Ich muss bei dieser Aufgabe bestimmen und überprüfen, ob 0 das Infimum ist, da das auch der Grenzwert ist.

Die Aufgabe wäre a_n= (2:n)-(1:n²) Die Folge ist streng monoton steigend , wobei 1 das Maximum und 0 der Grenzwert ist, wo ich nun schauen soll ob das auch das Infimum ist. Ich weiß aber nicht wie das geht..

Ich hoffe, dass mir das jemand erklären kann! Ich glaube das schreibt man dann so an:

(2:n)-(1:n²) ≥ 0-Ε (Epsilon)

Von da an komme ich nicht weiter!

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Kleine Frage: Wenn ich den Grenzwert herausgefunden habe, kann ich dann sicher sein, dass er Infimum bzw. Supremum ist? Dankeschön

Answer 1

Die Aufgabe wäre a_n= (2:n)-(1:n²)

Die Folge ist streng monoton steigend    fallend ?,

wobei 1 das Maximum und 0 der Grenzwert ist,

Für Inf=0 musst du erst mal zeigen  0 unt. Schranke, also 

(2:n)-(1:n²)   ≥ 0

1/n *  (  2 - 1/n )    ≥ 0

1/n *  (  2n - 1 )  /n     ≥ 0 

  (  2n - 1 )  /n²     ≥ 0   offenbar ok, da Zähler und Nenner positiv für alle n aus IN.

Dann:  kleinste unt. Schranke ! 

wäre also eps>0 auch eine unt. Schranke, dann

(2:n)-(1:n²)   ≥ eps   für alle n aus IN. 

Das muss zum Widerspruch geführt werden:   | *n

   2-1/n      ≥ eps    * n

Da 1/n immer ≤ 1 ist, hieße das

Es gibt ein eps>0, so dass für alle n aus IN gilt 

          1     ≥ eps    * n

Widerspruch zum Axiom des Archimedes.

Comments

Danke für deine Antwort! Ich muss nur sagen, dass ich vom Axiom des Archimedes noch nie etwas gehört habe. Ist das für diese Aufgabe sehr wichtig?

Nur noch zum Verständnis: Wenn ich zuerst (2:n)-(1:n²)   ≥ 0 das zeige, kann ich dann direkt sagen dass das Infimum 0 ist? 

! 

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Nein, dann hast du nur gezeigt :O ist EINE untere Schranke, aber noch nicht, dass es die kleinste ist.

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Aber kann man dann zeigen, dass das Infimum 0 ist, auch durch etwas anderes, ich meine einen anderen Schritt, nur weil ich das Axiom nicht kenne und wir das nicht durchgemacht haben und ich nicht verstehe, was du gemacht hast. Theoretisch, wenn ich den Grenzwert habe, kann ich sagen, dass es das Infimum sein könnte, oder?

Danke, das hilft mir weiter!