Beweisen von Untervektorräume

Question

Seien A und B zwei K-Vektorräume, A₁ ein Untervektorraum

von A und g : A → B eine lineare Abbildung.

Zubeweisen ist : g(A₁) ist ein Untervektorraum von B.

Muss man durch die drei Untervektorraum Axiome zeigen,dass A₁ ein Untervektorraum ist?

Answer 1

Ja, genau so muss man vorgehen. Dabei muss man die Eigenschaften von A1 und g benutzen, um die Axiome für g(A_1) zu beweisen.

$$0.\ g(A_1)\subset g(A)\subset B$$ g(A_1) ist erstmal eine Teilmenge von B, wird manchmal übersehen, ist aber auch wichtig.

$$1.\ g(A_1)\neq \emptyset$$ $$A_1 \leq A \Rightarrow A_1 \neq \emptyset \Rightarrow g(A_1)\neq \emptyset$$ Funktionen bilden ja jedes Argument auf genau einen Funktionswert ab, also kann die Bildmenge g(M) nur leer sein, wenn M leer ist, was nicht der Fall ist.

$$2.\ \forall x,y \in g(A_1)\colon (x+y) \in g(A_1)$$ $$\forall x,y \in g(A_1)\ \exists s,t \in A_1\colon g(s)=x \wedge g(t)=y.$$ $$\forall s,t \in A_1\colon s+t\in A_1 \Rightarrow g(s+t)\in g(A_1)$$ $$g(s+t)=g(s)+g(t)=x+y \in g(A_1).$$ Benutzt wurden, dass es für alle Elemente x der Bildmenge von M entsprechende Elemente s in M gibt, sodass g(s) = x gilt, die zweite Untervektorraumeigenschaft von A_1 und die Linearität von g.

$$3.\ \forall k \in \mathbb K\ \forall x \in g(A_1)\colon k\cdot x\in g(A_1)$$ $$\forall x \in g(A_1)\ \exists s\in A_1\colon g(s)=x$$ $$\forall k \in K\ \forall s \in A_1\colon k\cdot s \in A_1\Rightarrow g(k\cdot s)\in g(A_1)$$ $$g(k\cdot s)=k\cdot g(s)=k\cdot x\in g(A_1).$$ Dasselbe Spiel wie oben mit Skalarmultiplikation.
QED.

Comments

Vielen Dank für den ausführlichen Beweis.

Wie ist das den mit der Sklarenmultiplikation gemeint ?

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Ja dass man im dritten Schritt dasselbe wie im zweiten macht, aber statt der Addition x+y steht da die Multiplikation k*x mit k einem Skalar aus dem Körper K.