Ich denke, es ist diese Funktion gemeint?
$$+\colon\mathbb Z\times\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z\colon (a,b)\mapsto a+b$$
(also im Definitions- und Bildbereich jeweils ganze Zahlen)
Wohldefiniert ist sie, wenn jeder Funktionswert im Bildbereich zu liegen kommt, also
$$\forall a,b \in \mathbb Z\colon a+b\in \mathbb Z.$$
Je nachdem, wie ihr die Addition und die ganzen Zahlen eingeführt habt, musst du das auf ein Axiom oder einen Satz zurückführen, das ihr bereits angenommen bzw. den ihr bereits bewiesen habt.
Notfalls dürfte es immer per Induktion über b gehen, falls ihr das schon gemacht habt (wenn b Null ist, ist die Summe a natürlich wieder in Z, dann noch die zwei Fälle, dass es negativ oder positiv sein kann und dann von b->b+1 bzw. b->b-1).
Dass n+m=m+n gilt, kann man sich dann dadurch überlegen, dass man dann ja auch jede ganze Zahl als Summe zweier ganzer Zahlen schreiben kann (m+0=m, (m-1)+1=m, ..., (n+1)+(m-n+1)=m, n+(m-n)=m, notfalls auch per Induktion), wobei man sich einen Summanden beliebig vorgeben kann. Also ist $$m + n = n + (m-n) + n = n + m - n + n = n + m.$$
