Ich habe den Kontrapositiv oder Umkehrschluss bewiesen:
"Wenn a und b ganze Zahlen ungleich Null sind, dann ist das Produkt ungleich Null."
Das ist äquivalent zu "Wenn a und b ganze Zahlen sind und a*b=0, dann ist a=0 oder b=0."
Dann habe ich vier Fälle unterschieden, da es für a und b jeweils zwei Möglichkeiten gibt: Entweder ist a in \(\mathbb N\) oder nicht in \(\mathbb N\), und entweder ist b in \(\mathbb N\) oder nicht in \(\mathbb N\). \(\mathbb N\) ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen, wenn ich eine Fallunterscheidung mache für a in \(\mathbb N\) oder a nicht in \(\mathbb N\), b in \(\mathbb N\) oder b nicht in \(\mathbb N\) und jedes Mal zum Schluss komme, dass \(a\cdot b\not=0\) ist, ist \(a\cdot b\not=0\) für alle \(a,b\in\mathbb Z\setminus\{0\}.\)
"(Und wenn Du schon gerne in \(\mathbb N\) argumentierst, ist Dein ganzer "Beweis" falsch, da \(0\not\in\mathbb N\), damit sind alle Deine Gleichungen ungültig.)"
Die Argumentation ist nicht falsch, da aus \(x \in \mathbb N = \mathbb Z \cap \mathbb N\) folgt, dass \(x\not=0\) mit der Gleichheit in \(\mathbb Z\), genau weil \(0\not\in\mathbb N\). Nochmal: \(\mathbb N\) ist eine Teilmenge von \(\mathbb Z\), in der die Multiplikation abgeschlossen ist. Beweis dazu: Seien a,b in \(\mathbb Z\) und positiv, also a,b in \(\mathbb N\). Dann ist \(a\geq 1, b\geq1\). Daraus folgt, dass \(a\cdot b\geq a\cdot 1=a\geq 1>0.\)