Beweis: a*b=0, b=0 oder a=0 wenn a,b element Z

Question

Beweisen Sie: Wenn a,b ∈ ℤ mit a·b=0,dann a=0 oder b=0

Answer 1

Beweise den Umkehrschluss: $$\forall a,b \in \mathbb Z\colon a\neq 0 \wedge b\neq 0 \Rightarrow a\cdot b \neq 0$$ Seien $$a,b \in \mathbb Z\setminus\{0\}.$$ Dann gibt es vier Fälle: $$1.\ a,b\in \mathbb N\colon$$ $$a,b\in \mathbb N\Rightarrow a\cdot b \in \mathbb N\Rightarrow a\cdot b \neq 0.$$

$$2.\ a\in \mathbb N, b\in \mathbb Z\setminus \mathbb N_0\colon$$ $$a\in \mathbb N, b\in \mathbb Z\setminus \mathbb N_0\Rightarrow a,(-b)\in \mathbb N\Rightarrow a\cdot (-b)=-a\cdot b \in \mathbb N \Rightarrow a\cdot b \in \mathbb Z\setminus\mathbb N_0\Rightarrow a\cdot b\neq 0.$$

3. analog zu 2.

$$4.\ a,b\in \mathbb Z\setminus \mathbb N_0\colon$$ $$a,b\in \mathbb Z\setminus \mathbb N_0\Rightarrow (-a),(-b)\in \mathbb N\Rightarrow (-a)\cdot(-b)\in\mathbb N\Rightarrow a\cdot b \in \mathbb N\Rightarrow a\cdot b \neq 0.$$

Dabei habe ich als bekannt vorausgesetzt, dass die Multiplikation in den natürlichen Zahlen abgeschlossen ist (und dass diese bei 1 beginnen).

Comments

Dein Beweis funktioniert so nicht:

(1) Du schreibst "seien \(a,b \in \Bbb Z \setminus \{0\} \)" und gleich danach im Fall 1: "\( a,b \in \Bbb N \)". Du widersprichst Dir selber und setzt Deine Voraussetzung außer Kraft. Zumindest halbwegs besser musst Du schreiben \( a,b > 0 \).

(2) Schon im Fall 1 schreibst Du einfach "\( ab \in \Bbb N \Rightarrow ab \neq 0 \)". Genau das sollst Du aber beweisen. Deine Beweisrichtung ist ganz primitiv und falsch: Du behauptest nämlich nichts anderes als: Weil es in \( \Bbb N\) gilt, gilt es auch in \( \Bbb Z \) Damit umgehst Du die Frage ganz primitiv, anstatt sie zu lösen, denn die nächste Frage müsste ganz konsequent sein: Warum gilt es in \( \Bbb N \)?

Grüße,

M.B.

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Wenn a, b ganze Zahlen ungleich Null sind, sind sie entweder positiv oder negativ. Positive ganze Zahlen sind natürliche Zahlen beginnend bei 1. Negative ganze Zahlen sind ganze Zahlen, die nicht natürliche Zahlen oder Null sind.

Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl, bzw. die Multiplikation in den natürlichen Zahlen ist abgeschlossen (wie oben schon gesagt).

Beide deiner Einwände scheinen einem Missverständnis zu entspringen. Hier ist:
\(\mathbb N = \{1,2,3,...\}\).

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es gibt hier kein Missverständnis.

Du setzt voraus, dass \( a,b \in \Bbb Z \setminus \{0\} \) gilt. Dann halte Dich an die Regeln und bleibe in \( \Bbb Z  \).

Im Fall 1 gilt dann \( a,b > 0 \).

Deine Folgerung heißt \( a,b > 0 \Rightarrow ab > 0 \Rightarrow ab \neq 0 \).

Damit hast Du gar nichts bewiesen, sondern den Beweis einfach umgangen. Es gilt nämlich immer noch \( ab \in \Bbb Z \), und nicht \( ab \in \Bbb N \), wie Du es gerne hättest.

(Und wenn Du schon gerne in \( \Bbb N \) argumentierst, ist Dein ganzer "Beweis" falsch, da \( 0 \notin \Bbb N \), damit sind alle Deine Gleichungen ungültig.)

Das Problem ist, dass es viele Bereiche gibt, in denen \( A,B \neq 0 \), aber trotzdem \( AB = 0 \) gilt; der wichtigste davon sind Matrizen. Warum ist das in \( \Bbb Z \) anders? Das hast Du nicht beweisen.

Grüße,

M.B.

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Ich habe den Kontrapositiv oder Umkehrschluss bewiesen:

"Wenn a und b ganze Zahlen ungleich Null sind, dann ist das Produkt ungleich Null."

Das ist äquivalent zu "Wenn a und b ganze Zahlen sind und a*b=0, dann ist a=0 oder b=0."

Dann habe ich vier Fälle unterschieden, da es für a und b jeweils zwei Möglichkeiten gibt: Entweder ist a in \(\mathbb N\) oder nicht in \(\mathbb N\), und entweder ist b in  \(\mathbb N\) oder nicht in \(\mathbb N\).  \(\mathbb N\) ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen, wenn ich eine Fallunterscheidung mache für a in  \(\mathbb N\) oder a nicht in \(\mathbb N\), b in  \(\mathbb N\) oder b nicht in  \(\mathbb N\) und jedes Mal zum Schluss komme, dass \(a\cdot b\not=0\) ist, ist \(a\cdot b\not=0\) für alle \(a,b\in\mathbb Z\setminus\{0\}.\)

"(Und wenn Du schon gerne in \(\mathbb N\) argumentierst, ist Dein ganzer "Beweis" falsch, da \(0\not\in\mathbb N\), damit sind alle Deine Gleichungen ungültig.)"

Die Argumentation ist nicht falsch, da aus \(x \in \mathbb N = \mathbb Z \cap \mathbb N\) folgt, dass \(x\not=0\) mit der Gleichheit in \(\mathbb Z\), genau weil \(0\not\in\mathbb N\). Nochmal:  \(\mathbb N\) ist eine Teilmenge von \(\mathbb Z\), in der die Multiplikation abgeschlossen ist. Beweis dazu: Seien a,b in  \(\mathbb Z\) und positiv, also a,b in \(\mathbb N\). Dann ist \(a\geq 1, b\geq1\). Daraus folgt, dass \(a\cdot b\geq a\cdot 1=a\geq 1>0.\)