Untersuchen Sie die folgenden reellen Folgen auf Konvergenz

Question

Ich muss diese Aufgabe lösen, weiß  aber nicht wie.

Untersuchen Sie die folgenden reellen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Beweisen Sie Ihre Aussagen.

 (a) (1/( 2+n^3)) _n=1^∞  ,

(b) ( 1 + ((−1)^n/ n)_n=1 ^∞  ,

(c) (an) _n=0 ^∞   , definiert durch a₀ := 0,  a_n+1 := a_n + 1 (n ≥ 0),

(d) (an) _n=1 ^∞  mit der Eigenschaft: Zu jedem ε > 0 existiert ein n₀ ∈ N so, dass für alle n ≥ n₀ gilt: (a_n)^2 − 4a_n + 4 < ε^4 .

Comments

1/( 2+n³) n=1 > ∞  , 

ist keine sehr gebräuchliche Schreibweise für Folgen. 

Meinst du

limes_(n gegen unendlich) ( 1/( 2+n³) ) ? 

n soll gegen unendlich gehen oder soll noch irgendwas addiert werden? Wozu ist n=1? 

Du sollst Konvergenz beweisen. Da musst du auf eure Definition von Konvergenz oder bereits bewiesene Sätze zurückgreifen. Schreib die Definition zuerst mal hin. 

b) schau mal hier: https://www.mathelounge.de/282052/untersuchen-sie-die-folgenden-folgen-auf-konvergenz-1-1-n-n und ob das dort zu eurer Definition passt. 

Sonst: Definition bitte angeben. 

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n fängt = 1 und geht gegen unendlich. So war die Aufgabe gestellt.

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Was soll den das bedeuten? (c) (an)  n=0 >∞   , definiert durch a0 := 0,  an+1 := an + 1 (n ≥ 0),

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Hier ist die Aufgabe, vielleicht ist es deutlicher so.

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Hast du den Link zu b) gesehen?

Ich habe die Darstellung dort gesehen und werde mal deine Fragestellung mit Hoch- und Tiefstellen etwas umgestalten. (Nochmals reinschauen in ein paar Minuten).

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Ja das habe ich gesehen. Das war sehr hilfreich, und ich versuche dasselbe mit (a).

Edit :

| 1/(2+n^3) - 0 | <eps

1/ (2+n^3) < eps

1/(2+n^3) < eps

1/eps < 2 + n^3

n^3 > (1/eps) - 2

Ich blockiere hier. 

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Studierst du auch KIT möglicherweise :D

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Die Antwort kennst du schon haha.

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haha ja ich bin auch hier auf den Seiten unterwegs wegen den Aufgaben die wir abgeben müssen :D

Hast du Die Aufgabe 7 von HM1 verstanden?

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(b) , (c) und (d) glaube ich schon. (a) jedoch nicht.

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Könntest du eventuell die wo du verstanden hast hier posten? Hab noch keine Antwort online hier bekommen, des würde mir immerhin bisschen helfen .

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(b): https://www.mathelounge.de/282052/untersuchen-sie-die-folgenden-folgen-auf-konvergenz-1-1-n-n

( c ): Die Folge ist monoton wachsend ( da an+1 > an )  und unbeschränkt => divergent

( d ): an^2 -4an +4 = (an - 2)^2 dann du solltest die Definition nutzen um  |  an - 2 | < eps zu schreiben. Die Folge convertiert nach 2.

Hast du L.A. Aufgabe  1/c und Aufgabe 2 gemacht?

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Danke. Nein habe erst das HM Blatt angefangen und hatte bei Aufgabe 7 schwierigkeiten.

LA1 hab ich mir angeschaut aber finde es kompliziert. Habe auch schon eine Frage hier im Forum gestellt -.-'

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"  | 1/(2+n³) - 0 | <eps

1/ (2+n³) < eps

1/(2+n³) < eps

1/eps < 2 + n³             

 n³ > (1/eps) - 2    | Sei eps so klein, dass 1/(eps) > 2. 

                                Kann man so wählen, da eps >0  und eps gegen 0 interessiert.        

n > ³√((1/eps) - 2)     

Du kannst eigentlich auch einfach grosszügiger sein und n so wählen, dass

 n³ > (1/eps)           

n > ³√(1/eps)     

(ohne Gewähr) 

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komme ebenfalls auf n > 3√(1/eps) bei der a). Scheint also was dran zu sein :).Könnte sich jemand die d) nochmal angucken? Kann nicht wirklich nachvollziehen, wie man da auf  | an - 2 | < eps kommen soll. Für mich konvergiert die auch nicht gegen 2, sondern (divergiert) gegen ∞.