Bestimmen Sie jeweils die reelle Lösungsmenge: |x²-4|/(x+1) > 4

Question

(Ungleichungen)

Bestimmen Sie jeweils die reelle Lösungsmenge.

Aufgabe 1

Aufgabe 2

  

Bearbeitungshinweis:
Falls möglich, sind End- und Zwischenergebnisse in Intervallschreibweise anzugeben.

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Hast du selber gar keine Ahnung ? Eine Kontrolllösung bekommst du von Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%5E2-4%7C%2F(x%2B1)%3E4

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3x%2B2)%2F(1%2B1%2Fx)%3Cx

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Leider komm ich nicht viel weiter als bis zur Fallunterscheidung...

Answer 1

Hallo Firana,

N1)

| x² - 4 |  / (x+1) > 4 

Es muss x+1 > 0 [ #also x > -1 ] gelten, da der Bruch sonst nicht positiv, insbesondere also nicht > 4 sein kann.

x² - 4 ≥ 0 ⇔  x≥2  oder x ≤ -2 ,  #also x≥2

1.Fall:  x≥2     (  | ...| kann entfallen )

x² - 4  > 4 * (x+1)

x² - 4 > 4x + 4

x² - 4x - 8 > 0

Mit der pq-Formel erhält man die Nullstellen   x₁ =  2 - 2·√3  und  x₂  = 2·√3 + 2

des linken Parabelterms (nach oben geöffnete P.)

der Parabelterm ist also für   x <   2 - 2·√3  oder x >  2·√3 + 2  positiv

  L₁ = ]  2·√3 + 2 ; ∞ [ 

2.Fall:  x<2  , #also  -1 < x < 2     ( |...| durch Minus vor Klammer ersetzen )

- (x² - 4)  > 4 * (x+1)  | * (-1)

x² - 4 <  -4x - 4         ( Multiplikation mit (-1):  > → < )

x² + 4x < 0

x * (x+4) < 0

Der Parabelterm ist  für -4 < x < 0  negativ

 L₂ = ] -1 ; 0 [ 

L = L₂ ∪ L₁ =   ] -1 ; 0 [  ∪   ]  2·√3 + 2 ; ∞ [ 

----------------

| x² - 4 |  / (x+1) > 4  ⇔  | x² - 4 |  / (x+1) - 4 > 0

Hier der Graph von f(x) = | x² - 4 |  / (x+1) - 4 

Gruß Wolfgang

Comments

danke schon mal für die Antwort!

Jetzt stellt sich für mich noch eine Frage.
Woher weiß ich, dass es genau die Lösungsmenge ist, die du angegeben hast. Sprich woher weiß ich dass es bei Fall 1 diese Lösungsmenge ist "also: L₁ = ]  2·√3 + 2 ; ∞ [   "

Das gleiche bei Fall 2.
Ich hoffe auf eine Antwort und dass ich es endlich verstehe :)

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nach oben geöffneter Parabelterm  > 0

→  die Lösungen der Ungleichung  liegen links oder rechts  von beiden Nullstellen der Parabel

nach oben geöffneter Parabelterm  <  0

→  die Lösungen der Ungleichung  liegen zwischen beiden Nullstellen der Parabel

Dazu dann immer die Ausgangsbedingung des jeweiligen Falls beachten.

Z.B.

2. Fall:  -1 < x < 2 

......

x * (x+4) < 0     (Nullsstellen x₁ = -4 ; x₂ = 0)

Der Parabelterm ist  für -4 < x < 0  negativ

zusammen mit Fallbedingung:

 -4 < x < 0  und -1 < x < 2 

 L₂ = ] -1 ; 0 [ 

Answer 2

|x^2 - 4| / (x + 1) > 4

Fall 1: x ≤ -2

(x^2 - 4) / (x + 1) > 4

x^2 - 4 < 4·x + 4

x^2 - 4·x - 8 < 0

2 - 2·√3 < x < 2·√3 + 2 --> Keine Lösung

Fall 2: -2 ≤ x < -1

-(x^2 - 4) / (x + 1) > 4

-(x^2 - 4) < 4·x + 4

-x^2 + 4 < 4·x + 4

x^2 + 4·x > 0

x < -4 ∨ x > 0 --> Keine Lösung

Fall 3: -1 < x ≤ 2

-(x^2 - 4) / (x + 1) > 4

-(x^2 - 4) > 4·x + 4

-x^2 + 4 > 4·x + 4

x^2 + 4·x < 0

-4 < x < 0 --> Lösung: -1 < x < 0

Fall 4: x >= 2

(x^2 - 4) / (x + 1) > 4

x^2 - 4 > 4·x + 4

x^2 - 4·x - 8 > 0

x < 2 - 2·√3 ∨ x > 2·√3 + 2 --> Lösung: x > 2·√3 + 2

Zusammenfassung: -1 < x < 0 ∨ x > 2·√3 + 2

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danke schon mal für die Antwort!

Jetzt stellt sich für mich noch eine Frage.
Woher weiß ich, dass es genau die Lösungsmenge ist, die du angegeben hast bzw. wie kann ich das erkennen?
Z.b bei Fall 1 und 2 gibt es keine Lösungsmenge, wieso?

Ich hoffe auf eine Antwort und dass ich es endlich verstehe :)

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Wenn die Lösung nicht in den Fallbereich hinein fällt dann ist das keine Lösung dieses Falls. Dafür macht man ja die Fallunterscheidung.

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Mit der Vorüberlegung von Wolfgang "x > -1" hätte ich mir Fall 1 und 2 sparen können.