Lösungsmenge von Betragsgleichung mit zwei Variablen festlegen

Question

Aufgabe:

Betragsgleichung mit zwei Variablen lösen

Problem/Ansatz:

Ermitteln Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über der Grundmenge ℝ der reellen Zahlen in Abhängigkeit von a, wobei a eine reelle Zahl ist.

a·|x-1|+(a-1)·|x+2|=2

Ich bin etwas verwirrt darüber, was „in Abhängigkeit von a“ bedeutet. Muss ich jetzt beide Variablen bestimmen ?

Ich habe zunächst mithilfe von Fallunterscheidung und Zusammenfassen versucht den Term zu vereinfachen, das hat mir jedoch nicht wirklich weitergeholfen...

Jegliche Anreize, wie ich die Aufgabe angehen sollte wären super!

schon mal :)

Comments

Ich bin etwas verwirrt darüber, was „in Abhängigkeit von a“ bedeutet. Muss ich jetzt beide Variablen bestimmen?

Nein, das \(a\) ist ein Platzhalter für jede reelle Zahl. Das Ziel ist es, nun die Lösungsmenge anzugeben für jedes dieser Platzhalter. Damit du am Ende eine Lösungsmenge "in Abhängigkeit von \(a\)" hast (d. h., in der \(a\) "drin vorkommt" oder auch nicht, man sagt in diesem Fall, dass die Gleichung unabhängig von \(a\) ist), um sofort für alle \(a\) die Lösungsmenge anzugeben, ohne jedes Mal neu durchzurechnen.

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Danke für die Erklärung, das hilft schon mal weiter.

Answer 1

Hallo,

Im Prinzip kannst Du die Aufgabe so lösen, als ob \(a\) irgendeine Zahl wäre. 'In Abhängigkeit zu \(a\)' heißt ja nur, dass das \(a\) in der Lösung vorkommt (siehe Kommentar von racine_carrée). Die 'kritischen' Stellen sind hier \(x=1\) und \(x=-2\). Dort findet ein Vorzeichenwechsel innerhalb der Betragsstriche statt. Damit hast Du drei Fälle zu untersuchen:

1.) \(x \ge 1\)

2.) \(-2 \le x \lt 1 \)

3.) \(x \lt -2\)

Mit Fall 1 ergibt sich:$$\begin{aligned} a(x-1) + (a-1)(x+2) &= 2 & x \ge 1\\ x(2a-1) &= 4-a \\ x &= \frac{4-a}{2a-1} \\ \end{aligned} $$Jetzt muss aber nach wie vor \(x \ge 1\) gelten und somit auch $$ \frac{4-a}{2a-1}  \ge 1$$und damit ist der Bereich von \(a\) ebenfalls eingeschränkt. Für den Fall 1 muss dann gelten$$ -\frac 12 \lt a \le \frac 53$$Versuche es mal mit den anderen beiden Fällen selber. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Comments

Ich entschuldige mich für die verspätete Antwort. Habe mich nach Deinem Kommentar mal etwas mit Betragsfunktionen beschäftigt und konnte die Aufgabe lösen, vielen Dank!!