Zeige, dass Span(w_1,...,w_k) = Span(v, w_2, ..., w_k).

Question

Aufgabe:

Seien \((w_1,..., w_k) \in \mathbb{R}^n \) und \( v = \sum_{j=1}^k \lambda_jw_j \) mit \( \lambda_j \ne 0 \) , \(\forall j \in \{1,...,k\}\). Zeige, dass $$Span(w_1,...,w_k) = Span(v, w_2, ..., w_k)$$ gilt.

Problem/Ansatz:

Also, ich weiß warum das gilt aber wie zeige ich das formal.

Der Vektor \(v\) enthält ja die Komponenten von dem Vektor \( w_1\), den wir weglassen und falls dieser Vektor linear unabhängig zu den anderen Vektoren ist, so muss auch \(v\) linear unabhängig zu diesen Vektoren sein, weil er ja die Komponenten von \(w_1\) enthält, da \( \lambda_j \ne 0 \), aber wie würde man das formal zeigen?

Answer 1

Hallo,

das ist eine schwächere Form des Austauschsatzes von Steinitz. Hier findest du einen Beweis. Für dich ist in diesem Beweis nur der erste Beweisschritt relevant. Du musst nur beweisen, dass es ein Erzeugendensystem ist.

Comments

Ich hätte da mal eine generelle Frage. Geht es bei derartigen Beweisen darum, dass man zeigt, dass der weggelassene Vektor als linear Kombination der übrigen Vektoren mit dem neuen Vektor ausgedrückt werden kann?

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Was muss ein Erzeugendensystem leisten? Du musst durch die Linearkombinationen der Vektoren des Erzeugendensystems jeden Vektor des zugrundeliegenden Vektorraums ansprechen können.

Du weißt ja bereits aus der Voraussetzung, dass \((w_1,..., w_k)\) ein linear unabhängiges System und damit ein Erzeugendensystem ist. Die Idee ist nun, dass -- da du ja weißt, dass das eben genannte System ein Erzeugendensystem ist -- du versuchst, denjenigen Vektor, der durch \(v\) ersetzt wurde, in Abhängigkeit der verbleibenden Vektoren und \(v\) auszudrücken. Klappt das, hast du ja wieder das alte Erzeugendensystem.

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Dann habe ich es richtig verstanden. Danke für die Erklärung! Ich habe da noch eine Frage zur linearen Abhängigkeit, aber die stelle ich in einem neuen Post.