Berechnen Sie die Eckpunkte des Dreiecks und die Größe der Innenwinkel.

Question

zusammen,

ich bin neu hier und hoffe, dass ich Hilfe bekommen kann.

Es handelt sich dabei um folgende Aufgabe:

Die Geraden g:x= (3/0/1)+r*(2/3/-2), h:x= (-1/-6/5)+s*(-2/5/1) und k:x= (3/-16/3)+t*(4/22/-6) sind gegeben.
b) Die drei Geraden bilden ein Dreieck. Berechnen Sie die Eckpunkte des Dreiecks und die Größe der Innenwinkel.

1) Die Eckpunkte sollte man bestimmen können, indem man g mit h, g mit k und h mit k gleichsetzt.

Meine Schwierigkeiten liegen eher bei den Innenwinkeln, da ich bisher immer nur mit 2 Gerade gearbeitet habe.

2) Mein Ansatz:

- Richtungsvektoren nehmen und nach A (2/3/-2), B (-2/5/1) und C (4/22/-6) umbenennen.

- Betrag der einzelnen Klammern ausrechnen

Beispiel A: √17, B: √30 und C: √536

- Nun verrechne ich die einzelnen Vektoren miteinander:

(2/3/-2)*(-2/5/1), (2/3/-2)*(4/22/-6), (-2/5/1)*(4/22/-6)

- Ergebnisse: Circa 66°, 25,72° und 40,795°

Ich schätze, dass ich einen komplett falschen Ansatz genommen habe und irgendwo Fehler sind. Vielleicht kann mir ja hier jemand besser und schneller erklären, wie man die Innenwinkel von 3 Geraden ausrechnet, weil unser Lehrer das noch nicht mit uns gemacht hat.

Ich bedanke mich schon jetzt!

Answer 1

Hallo Tamina,

willkommen in der Mathelounge.

Du hast nur einen einzigen Fehler gemacht. Und zwar hast Du die Orientierung der Richtungsvektoren vernachlässigt. Ich nenne die Eckpunkte des Dreiecks mal \(H\), \(Q\) und \(K\) und die Richtungsvektoren der Geraden \(\vec g\), \(\vec h\) und \(\vec k\). Siehe Bild

Wenn Du den Winkel bei \(H\) berechnest, so benötigt man dafür die Vektoren \(\vec{HQ}\) und \(\vec{HK}\). Statt dessen hast Du \(\vec g\) und \(\vec h\) benutzt, was im Prinzip richtig ist, nur musst Du die Richtung von \(\vec h\) invertieren, da \(\vec{HK}\) in dieser Richtung verläuft.

Der gesuchte Winkel \(\angle gh\) ist also nicht \(66,5°\) sondern \(180°-66,5°= 113,5°\) und dann stimmt auch die Summe der Winkel.

(klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus drehen und bekommst einen besseren Eindruck)

Comments

Hallo Werner-Salomon,

vielen lieben Dank für deine ausführliche Erklärung. Die Visualisierung hat mich zudem sehr unterstützt. Durch die verschiedenen bzw. unterschiedlichen Buchstaben bin ich nun etwas durcheinander gekommen.

Die bereits errechneten Winkel waren soweit richtig, bis auf der Winkel gh? Invertiere ich das komme ich leider irgendwie trotzdem nicht auf den Wert. Wahrscheinlich ist es einfacher als gedacht und ich denke nur wieder zu kompliziert. Hättest du eine konkrete Rechnung dafür?

Falls nicht muss ich selber nochmal schauen!

Liebe Grüße

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Hättest du eine konkrete Rechnung dafür?

Sicher: $$\vec g = \begin{pmatrix}2\\ 3\\ -2\end{pmatrix}, \quad -\vec h = \begin{pmatrix}2\\ -5\\ -1\end{pmatrix} \\\begin{aligned} \angle g(-h) &= \arccos\left( \frac{-\vec g\vec h}{|\vec g| \cdot |-\vec h|} \right) \\&= \arccos \left( \frac{2\cdot 2 + 3 \cdot (-5) + (-2)\cdot (-1) }{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-1)^2}} \right)  \\ &= \arccos \left( \frac{-9}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{30} } \right) \\ &\approx \arccos(-0,39853) \\ &\approx 113,5°\end{aligned}$$

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Vielen Dank,

ich weiß, wo mein Fehler lag, ich habe statt "-9" nur "9" herausbekommen, also irgendwo ein Vorzeichenfehler meinerseits.

Danke für deine Zeit und Geduld, das hat mir sehr geholfen!

Answer 2

hallo

deine Idee ist richtig, aber aus deinem A,B,C wenn das die Seitenlängen sein sollen kann man kein Dreieck machen!

du musst schon deine ganze Rechnung angeben, und de summe der Innenwinkel muß ja 180° sein.

Gruß lul

Comments

Hallo lul,

vielen Dank schon einmal für deine Hilfe. Ich war bezüglich meines Ergebnisses auch verwirrt. Ich komme eben leider nicht auf 180° und weiß aber selber auch nicht mehr weiter. Bisher habe ich gerechnet:

A= (2/3/-2)*(-2/5/1) und von beiden Klammern jeweils den Betrag ausgerechnet. So kommt man auf folgende Rechnung:

9/√17*√30 = 66°

B= (2/3/-2)*(4/22/-6) was nichts anderes ergibt als:

86/√17*√536 = 25,72°

C= (-2/5/1)*(4/22/-6) was so viel wäre wie:

96/√30*√536 = 40,79°

Entschuldige, falls ich deine Aussage nun falsch verstanden habe, aber das wäre in dem Fall meine "Rechnung".