So leid es mir tut, bei solchen Fragestellungen hilft meist nur, so gut wie möglich eine bestimmte Lösungsform zu raten und zu schauen, ob diese passt (in der Statistik muss man auch oft einfach "Grundannahmen treffen" bzw. "raten", wie bestimmte Daten verteilt sind und dann schauen, wie gut diese Annahme mit den Daten übereinstimmt).
Die einfachen zuerst: Ist es eine konstante Folge? Nein, es gibt verschiedene Glieder, z.B. \(a_1\neq a_0.\)
Ist es eine linear zunehmende Folge? Nein, \(2=a_1-a_0\neq a_2-a_1=4.\)
Ist es eine multiplikative Folge? Nein, \(a_0=0\), damit wäre jede Folge der Form \(a_0\cdot q^n\) konstant Null.
Wie Lu schon richtig erkannt hat, ist es höchstwahrscheinlich eine quadratische Folge, die einer Parabelform folgt.
Also: Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen a,b,c und sieben Gleichungen der Form \(n^2a+nb+c=a_n\):
$$\begin{pmatrix}0&0&1\\1& 1& 1\\4& 2& 1\\9& 3& 1\\16& 4& 1\\25& 5& 1\\36& 6& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 2\\ 6\\ 12\\ 20 \\30\\ 42\end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}1& 1\\4& 2\\9& 3\\16& 4\\25& 5\\36& 6\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 6\\ 12\\ 20 \\30\\ 42\end{pmatrix}\wedge c=0$$
In diesem Fall ist a=1, b=1, c=0. c=0 folgt aus der ersten Gleichung, der Rest folgt aus der Tatsache, dass die erste Spalte plus der zweiten die rechte Spalte ergibt, also a=b=1.
Die Lösung ist also \(a_n=n^2+n\).
