Wahrscheinlichkeiten Textaufgabe

Question

Von 15 Autofahrern haben 5 keinen Parkschein. Sechs werden zufällig ausgewählt und überprüft. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei davon keinen Parkschein haben?


Denkweise:

15 Autofahrer
5 keinen Parkschein
10 Parkschein
6 zufällig kontrolliert

Berechne die Wahrscheinlichkeit dass zwei keinen Parkschein haben.

P(2 keinen Parkschein, 4 Parkschein) = 5/15 * 5/15 * 10/15 * 10/15 * 10/15 * 10/15 = 16 / 729


Kann das stimmen? Bitte um Erklärung!

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Edit: Ich glaub ich verstehe die Aufgabe das obige * 15 , weil es 15 Anordnungen gibt

Answer 1

Von 15 Autofahrern haben 5 keinen Parkschein. Sechs werden zufällig ausgewählt und überprüft. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei davon keinen Parkschein haben? 

P(genau 2 haben keinen Parkschein) = 15 * 5/15 * 4/14 * 10/13 * 9/12 * 8/11 * 7/10 = 41.96%

Die 15 kommen zustande weil es 15 Pfade gibt wo in den 6 die 2 ohne Parkschein zu finden sind. Von der Binomialverteilung solltest du den Binomialkoeffizient kennen. Hier ist er genauso 

(6 über 2) = 6 * 5 / 2 = 15

Comments

Kann man den Pfad berechnen ohne das man sich alle Anordnungen aufschreibt? Also zb;
(k,k,p,p,p)
(k,p,k,p,p)
etc...

k... kein Parkschein
p... Parkschein

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Ja. Du kannst die Anzahl der Pfade mit dem Binomialkoeffizienten berechnen.

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Wann kann ich bzw. wann soll ich es mithilfe der Binomialkoeffizienten berechnen?
Wenn die Anordnung egal ist?

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Richtig der Binomialkoeffizient ist eine Formel zur Berechnung der Möglichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

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Wie ist es dann bei folgendem Beispiel:


Es wird ein Kartenspiel gespielt aus 20 Karten (As,Zehner,König,Dame,Bube in den vier Spielfarben: Herz,Pik,Karo,Treff - Herz und Karo sind rot, Pik Treff schwarz). Sie ziehen 5 Karten, ohne zurücklegen.


1) Wahrscheinlichkeit für eine Straße (1 As, 1 König, 1 Dame, 1 Bub, 1 Zehner; egal in welcher Farbe)
2) Wahrscheinlichkeit dass sie schwarze Karten haben (also nur Pik oder Treff)
3) Wahrscheinlichkeit dass man 4 Karten derselben Farbe enthält (die 5.Karte muss eine andere Farbe haben)

Laut Lösung:
1) 4/20 * 4/19 * 4/18 * 4/17 * 4/16 * 5! =

Wie komm ich auf die 4/20 ? wieso 4? weil es 4 Arten von Karten gibt? wieso nicht 5? ich brauche 5 für eine Straße..und wie komm ich auf die 5! = ?


2) 10/20 * 9/19 * 8/18 * 7/17 * 6/16 =

10 weil Pik und Treff schwarz sind ergibt 10 Karten in Schwarz, wieso wird hier nicht Fakultät (... ! ) verwendet?


3) (5/20 * 4/19 * 3/18 * 2/17 * 15/16 * 5) * 4  =

den anfang verstehe ich man nimmt sich eine farbe zb. Herz es gibt 5 Herz also 5/20 * .... * 2/17 * 15/16 dann mal * 5 * 4 wieso mal 5 * 4 ? Wieso hier keine Fakultät? ( ! ) ?

Answer 2

Du hast eine Gesamtheit mit Kriterium ja / nein, und eine Teilmenge (= Auswahl) mit Kriterium ja / nein. Das berechnet man mit der hypergeometrischen Verteilung, und nicht mit der Binomialverteilung.

$$ P = { ({6\atop2})({9\atop3}) \over ({15\atop5}) } = {60\over143} = 0.4196 $$

Grüße,

M.B.