Skalarprodukt und ebenes dreieck winkel und seiten

Question

Zeigen Sie unter Verwendung des Skalarproduktes: Für jedes ebene Dreieck mit Seitenlängen a, b, c und Winkel α , β , γ gilt:

a = b cos(γ) + c cos(β)

Answer 1

Nach der geom. Def. des Skalarproduktes gilt   (  BC meint hier Vektor BC )

BC * BA  =  a * c * cos ( ß )

Außerdem ist  BA = BC + CA

also   BC * BA  =  BC * ( BC + CA  =

=  BC * BC  +  BC * CA 

=  a²    -   CB * CA

=   a²    -   a * b * cos ( γ )

Also beides zusammen 

a * c * cos ( ß ) =  a²    -   a * b * cos ( γ ) 

für  a ≠ 0 also

c * cos ( ß ) =  a   -   b * cos ( γ ) 


c * cos ( ß )    +    b * cos ( γ )    =  a