komplexe zahlen: warum beschreibt a²+b²=1 einen kreis mit radius 1?

Question

wenn man z. B. eine komplexe Zahl z=a+bi und irgendeine Menge skizzieren soll, die zu der Form

a²+b²=1 führt

entspricht dies ja dem Einheitskreis mit Mittelpunkt (0,0) und eben Radius r=1.

Warum ist das so? Vielleicht kann mir das jemand kurz begründen. Ich möchte das wenig ansatzweise verstehen und nicht nur auswendig lernen :)

Answer 1

am einfachsten geht es, wenn Du \( \Bbb C \) und \( \Bbb R \) als Vektorräume sieht. Dann kannst Du sagen, der Vektor \( (a,b) \in \Bbb C \) entspricht dem Vektor \( (a,b) \in \Bbb R^2 \).

Ansonsten kannst Du die komplexe Zahl \( (a,b) \) in Polarform umwandeln und dann recht einfach beweisen.

Grüße,

M.B.

Comments

Vektorräume haben wir noch nicht behandelt.

Das mit der Polarform ist mir geläufig.

Kannst du mir die Herleitung mit der Polarform zeigen?

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$$ a = r\cos\varphi $$

$$ b = r\sin\varphi $$

$$ a^2+b^2 = (r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2 = r^2 (\cos^2\varphi+\sin^2\varphi^2) = r^2 $$

Grüße,

M.B.

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HallO

DIese UmformungSchritte verstehe ich schon aber woher weiß ich jetzt das diese Gleichung jetzt einen Kreis darstellt ?

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wer hat Dir eigentlich Mathematik beigebracht?

Überlege Dir, wie der Sinus / Cosinus am Einheitskreis definiert sind, und ansonsten solltest Du den Satz des Pythagoras kennen.

Grüße,

M.B.