Warum ist a² + b² = c²? Mechanismus hinter Satz des Pythagoras?

Question

Wir lernen alle in der Schule, warum a² + b² gleich c² ist. Dazu wird einer von vielen geometrischen Beweisen herangezogen.

Steckt jedoch nicht noch ein "größerer" Mechanismus hinter dem Satz des Pythagoras?

Comments

Hast du das Video und die Wissensinformationen hier schon gefunden?

https://www.matheretter.de/wiki/pythagoras

Answer 1

Richtig, es gibt einen "größeren" Mechanismus. Liest du dir die Lektion Satz des Pythagoras durch, stößt du auch darauf. Bzw. du siehst dir als Kunde den 3. Teil der Lektion an.

Grundsätzlich gilt:

Du siehst am Beispiel, dass jede Dreiecksfläche um den gleichen Faktor mit ≈ 4,167 vergrößert wird:

2,16 cm² * 4,167 = 9 cm²
3,84 cm² * 4,167 = 16 cm²
6,00 cm² * 4,167 = 25 cm²

und du weißt sicher, dass 9 cm² + 16 cm² = 25 cm² sind bzw. 3² + 4² = 5².

Wichtig: Flächenangaben sind nicht an eine Form gebunden. Du kannst die drei vergrößerten Dreiecke also auch als Viereck, Quadrat, Fünfeck, Kreis etc. darstellen.

Um die Erklärung abzukürzen, hier der Text aus der Lektion:

Die Quadratsflächen sind nichts weiter als die drei vergrößerten Dreiecksflächen in ihrer Form verändert. Die zwei Teildreiecke E_a + E_b ergeben das gesamte Dreieck E_c, daher müssen auch die um den gleichen Faktor vergrößerten Dreiecke (dann Quadrate a² + b²) das Gesamtdreieck (dann Quadrat c²) ergeben!

Zum Weiterlesen: https://www.matheretter.de/wiki/pythagoras#prinz

Answer 2

Es gibt bestimmt hunderte von Beweisen zum Satz des Pythagoras. Eine der einfachsten sind die geometrischen Methoden und Deutungen.

Letztendlich ist der Satz des Phythagoras eine Spezielle Form des Kosinussatzes, wenn nämlich der eingeschlossene Winkel genau 90 Grad ist.

Den Kosinussatz kann man auch beweisen. Vielleicht ist es das was du meinst.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz

Answer 3

Mal eine etwas tiefgründigere Antwort:

Der Satz des Pythagoras gehört zur Definition des Euklidischen Raumes dazu. Gewissermaßen ist er das, was den Raum euklidisch macht, um nämlich sinnvoll über eine Geometrie sprechen zu können, benötigt ein Raum eine Metrik und die euklidische Metrik entspricht gerade dem Satz des Pythagoras.

Daraus folgt aber direkt, dass der Satz des Pythagoras in anderen Geometrien nicht gilt, also z.B. in der sphärischen oder hyperbolischen Geometrie, insbesondere aber auch in der vierdimensionalen Geometrie der Raumzeit.

Das dritte Beispiel führt zu einer verblüffenden Schlussfolgerung: wenn die allgemeine Relativitätstheorie richtig ist (und sie ist wie die Experimente bestätigen zumindest nicht grob falsch), dann gilt der Satz des Pythagoras in unserer Welt im Allgemeinen nicht.

In der Abwesenheit großer Massen fällt dieser Fehler aber kaum auf, sodass man im Alltagsleben trotzdem weiter damit rechnen kann. Es ist aber ein interessanter Fakt, dass er in Wirklichkeit nur eine Näherung und kein korrekter Zusammenhang geometrischer Längen ist.