Ist V mit Vektoraddition und skalare Multiplikation ein Vektorraum über R?

Question

Sei V = {x∈ℝ | x>0} .

Die Vektoraddition und skalare Multiplikation sind wie folgend definiert:x⊕y := (x³ + y³)^(1/3)λ⊗x := (λ)^(1/3)*xIst (V,⊕,⊗) ein Vektorraum über R?Ich habe bereits überprüft, dass (V,⊕) eine abelsche Gruppe ist.Dann müssen noch folgende Axiome gelten:(i) λ,x ↦ λ*x ∈ ℝ(ii) λ*(x+y) = λ*x + λ*y(iii) (λ+μ)*x = λ*x + μ*x(iv) (λ*μ)*x = λ*(μ*x)(v) 1*x=xIch weiß nicht wie ich bei (i) bis (v) vorgehen soll.

Answer 1

x⊕y := (x³ + y³)^(1/3)            λ⊗x := (λ)^(1/3)*x.  

λ*(x+y) = λ*x + λ*y bedeutet ja hier 

  λ⊗(x⊕y) = λ⊗x ⊕ λ⊗y 

Das prüfst du so: 

λ⊗(x⊕y)   =    (λ)^(1/3) * (x⊕y)

=    (λ)^(1/3) *   (x³ + y³)^(1/3)     =

(λx³ + λy³)^(1/3)     

Und vergleichst das mit 

λ⊗x ⊕ λ⊗y  

=   (λ)^(1/3)*x   ⊕  (λ)^(1/3)*y

= (     ( (λ)^(1/3)*x  )³  +  (   (λ)^(1/3)*y  )³    )^(1/3)  


=  (λx³ + λy³)^(1/3)       

Also beides gleich !