Zeige Vektoraddition und skalare Multiplikation bildet Vektorraum

Question

ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Die Aufgabenstellung ist ja eigentlich ganz simpel. Ich muss ja nur zeigen dass für die Vektoraddition assoziativität und kommutativität gilt, sowie das ein neutrales Element existiert und es inverse Elemente gibt und dann eben noch für die skalare Multiplikation distibutivität , neutrales Element etc. , eben dass alle Axiome erfüllt werden. Doch ich kriegs einfach nicht hin. Könnte mir bitte jemand zeigen wie ich das mache?

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Wo liegt genau deine Schwierigkeit bilde doch mal a + b und b + a. Kannst du zeigen, dass das das selbe ist?

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Mein Problem besteht darin, dass ich nicht mit der Definition klar komme. Wie handhabe ich denn das -1 zum Schluss ?  

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Welches wäre denn hierbei das neutrale, bzw. inverse Element bezüglich der Addition?(1,1,0) und (-a"+2,-b"+2,-1)?

Answer 1

Das Bleibt ja sowohl bei der addition von a + b und b + a einfach so stehen

Daher ergibt das doch das gleiche ergebnis

[a, b, 1] + [c, d, 1] = [a + c - 1, b + d - 1, 1]

[c, d, 1] + [a, b, 1] = [c + a - 1, d + b - 1, 1] = [a, b, 1] + [c, d, 1]

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Dann wäre jetzt z.B. im Fall der assoziativität also

[a, b, 1] + ([a', b', 1] + [a'', b'', 1])  = [a + (a' + a'') -1, b + (b' + b'') - 1, 1] =

[(a + a') + a'' -1, (b + b') + b'' - 1, 1] = ([a, b, 1] + [a', b', 1]) + [a'', b'', 1]

oder ?

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Sollten nicht für jede Addition 1 abgezogen werden?

([a, b, 1] + [c, d, 1]) + [e, f,, 1] = [a + c - 1, b + d - 1, 1] + [e, f,, 1] = [a + c + e - 2, b + d + f - 2, 1]

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Alles klar. Den Rest sollte ich dann alleine hinbekommen.

Nochmals vielen Dank für die Hilfe!