man kann das tatsächlich mehr oder weniger ausrechnen.
Meine Vorgänger haben ja bereits erklärt, dass zuerst die Spielsteine in den Ecken zu bestimmen sind. Weiter sollte inzwischen klar sein, dass sowohl die Summe als auch die Quadratesumme der drei Eckensteine durch 3 teilbar sein muss, um die gegebene Aufgabe zu erfüllen.
Ab jetzt betrachte ich nur noch den Wert der Ecksteine mit Modulo 3. Wähle ich die ersten beiden von drei Ecksteinen aus, gibt es nur noch sechs Möglichkeiten für die Verteilung ihrer Modulo - nämlich (0,0), (0,1), (0,2), (1,1), (1,2) und (2,2) - die Reihenfolge spielt ja keine Rolle.
Jetzt betrachte ich jeweils die Summe und die Quadratesumme der beiden ersten Ecksteine und daraus folgt immer der Modulo des dritten Steins.
Ist der Modulo für die ersten jeweils 0 (Fall (0,0)), dann muss auch der Modulo des dritten 0 sein, damit Summe und Quadratesumme durch 3 teilbar sind - d.h. vom Modulo 0 sind.
Im Fall von (0,1) müsste der dritte Eckstein vom Modulo 2 sein, um die Summe Modulo 3 zu 0 werden zu lassen, aber die Quadratesumme müsste auch 2 sein und das ist nicht möglich, da 2 Modulo 3 zum Quadrat wieder 1 ergibt.
So zeigt sich, dass von den 6 Fällen oben nur drei Fälle sinnvolle Kombinationen ergeben. Das sind (0,0), (1,1) und (2,2) und der dritte Stein muss Modulo 3 den gleichen Wert haben, wie die ersten beiden.
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man für die Werte der drei Ecksteine e1, e2 und e2 annehmen, dass e1 < e2 < e3 ist. Zusammen mit der Forderung, dass ihre Werte Modulo 3 identisch sein müssen, bleiben nur die drei Tripel (1,4,7), (2,5,8) und (3,6,9) übrig.
Im nächsten Schritt bestimmt man nun die Summe und die Quadratesumme der beiden nicht-Ecken-Steine, die dem größten oder kleinsten gegenüber liegen.
Für das Tripel (1,4,7) muss die Summe einer Seite =(45+12)/3=19 sein und die Qudratesumme =(285+66)/3=117. Gegenüber der 1 liegen also zwei Steine deren Summe =19-(4+7)=8 und Quadratesumme =117-(16+49)=52 sein muss. Für die Summe 8 ergeben sich nur die Möglichkeiten (2,6) und (3,5). Die zugehörigen Quadratesummen sind dann 40 und 34. Damit scheidet dieses Tripel bereits aus.
Für das Tripel (2,5,8) ist die Summe einer Seite 20 und die Quadratesumme 126. Gegenüber der 2 muss also eine Summe von 7 und eine Qudratesumme von 37 erscheinen. Die möglichen Paare, die sich aus der Summe ergeben, sind (1,6), (2,5) und (3,4). Nur (1,6) hat die Quadratesumme 37. Die Überprüfung der anderen beiden Seiten bringt dann die Belegung hervor, die Roland bereist gezeigt hat.
Das letzte Tripel (3,6,9) zeigt bei der Überprüfung des Steinpaars gegenüber der 9, dass es damit keine Lösung gibt.
Damit ist im Übrigen auch bewiesen, das Rolands Lösung auch die einzige ist. Von den offensichtlichen Symmetrien mal abgesehen.
Gruß Werner
