Stirling Zahlen erster Art Beweis mit Summen und Produktzeichen.

Question

hat jemand einen Ansatz wie ich das beweisen kann ?

Danke

\( \sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{n-k} s_{n, k} X^{k}=\prod \limits_{j=0}^{n-1}(X-j) \).

Comments

Ansatz? 1. Schritt.

Definitionen und/oder Formel für s_(n,k) raussuchen und hinschreiben.

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ja, das hab ich ja. Ich weiß aber nicht wie ich das angehen soll

Answer 1

1. Was hast du denn über s_(n,k) rausgefunden?

2. Die rechte Seite ist ja

X * (X-1)*(X-2) .... (X - (n-1)) = X^n - (1+2+3+4+.....+ (n-1))X^{n-1} + .........±  (n-1)! * X

einverstanden?

Comments

Ja :)
Das sind die Stirling Zahlen erster Art. Die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge

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Na. Dann kannst du doch die linke Seite mit der rechten erklären.

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Meinst du rechnerisch oder eher ein kleiner Text ?

Ich bin mir noch nicht sicher ob ich die rechte seite verstanden hab...

Also nicht wie man sie rechnet sondern vom Sinn her

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Ich würde einen kleinen Text schreiben, indem ich kombinatorisch erkläre, warum rechts alternierend die Stirlingzahlen stehen und mit welcher Potenz von X sie zu verbinden sind.

Aber man weiss ja nie, ob ihr explizit einen Induktionsbeweis durchführen sollt, was vielleicht ziemlich mühsam wird.

Ich bin mir noch nicht sicher ob ich die rechte seite verstanden hab...

Also nicht wie man sie rechnet sondern vom Sinn her 

Also der Vorfaktor von X^k kommt zustande, indem man k beliebig kombinierte Vorfaktoren von X miteinander multipliziert (einer der Faktoren ist immer 1, da zuerst im Prinzip (X-0) steht)  und die Produkte dann alle addiert. Ich habe dir diejenigen hingeschrieben, die man am einfachsten "sieht".

X^n  Man nimmt überall die Zahl X und nirgends die Zahl.

(n-1)!*X Man nimmt nur einmal die X und nachher die Zahlen (mit Vorzeichen!)

- X^{n-1} * (1+2+3+... + (n-1)) Jeweils ein neg. Faktor.

Dann musst man die Summanden kombinieren.

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Hier nach 3 Jahren übrigens wieder einmal die gleiche Formel https://www.mathelounge.de/668624/wie-kann-diese-polynomiale-identitat-mit-induktion-beweisen Nun aber mit klarerer Anweisung, wie der Beweis auszusehen hat.