a) Metrik-Bedingungen nachprüfen:
\(d\!:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R\!:(x,y)\mapsto \left|\frac x{1+|x|}-\frac y{1+|y|}\right|\) nimmt nur Werte \(\geq0\) an, also eigentlich \(d\!:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R_0^+.\)
$$1)\ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y\!:\\ \forall x,y\in \mathbb R\!:d(x,y)=0 \Leftrightarrow |f(x)-f(y)|=0 \Leftrightarrow f(x)=f(y)\Leftrightarrow \frac x{1+|x|}=\frac y{1+|y|}\Leftrightarrow(1+|y|)x=(1+|x|)y\Leftrightarrow x+x|y|=y+|x|y.$$
Aus \(\frac x{1+|x|}=\frac y{1+|y|}\) folgt aber auch: \(\operatorname{sign}\left(\frac x{1+|x|}\right)=\operatorname{sign}\left(\frac y{1+|y|}\right)\) (gleiche Zahlen haben gleiches Vorzeichen). Weil der Nenner immer positiv ist (\("1 +\) nichtnegative Zahl \(>0"\)), folgt daraus, dass das Vorzeichen nur vom Zähler bestimmt wird, also \(\operatorname{sign}(x)=\operatorname{sign}(y)\). Daraus folgt: \(x|y|=\operatorname{sign}(x)|x||y|=\operatorname{sign}(y)|x||y|=|x|y.\)
Dann kann man die Gleichung vereinfachen zu: \( x+x|y|=y+|x|y \Leftrightarrow x=y.\)
\(2)\) Symmetrie: $$\forall x,y \in \mathbb R\!:d(x,y)=|f(x)-f(y)|=|f(y)-f(x)|=d(y,x).$$
\(3)\) Dreiecksungleichung: $$\forall x,y,z \in \mathbb R\!:d(x,z)=|f(x)-f(z)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(z)|\leq |f(x)-f(y)|+|f(y)-f(z)|=d(x,y)+d(y,z).$$
b) nochmal dasselbe:
Ich fange mal mit Symmetrie an:
$$\forall x,y \in \overline {\mathbb R}\!: d(x,y)=|f(x)-f(y)|=|f(y)-f(x)|=d(y,x),$$da \(f(x),f(y)\) noch immer in \(\mathbb R\) sind.
Wegen der Symmetrie und weil wir \(x,y\in \mathbb R\) schon gezeigt haben, können wir hier annehmen, dass \(x=\pm \infty, y\in \overline {\mathbb R}.\)
Definitheit:
Fall 1: \(x=\infty\!:\)$$d(\infty,y)=0 \Leftrightarrow |f(\infty) - f(y)|=0 \Leftrightarrow |1-f(y)|=0 \Leftrightarrow f(y)=1.$$Fall 2: \(x=-\infty\!:\)$$d(-\infty,y)=0 \Leftrightarrow |f(-\infty) - f(y)|=0 \Leftrightarrow |-1-f(y)|=0 \Leftrightarrow f(y)=-1.$$
\(f(\pm\infty)\) haben wir schon explizit definiert, aber für welche \(y\in \mathbb R\) ist \(|f(y)|=1\)?
$$\forall y\in \mathbb R\!:|f(y)|=1\Leftrightarrow \left|\frac y{1+|y|}\right|=1\Leftrightarrow |y|=1+|y|\Leftrightarrow 0=1.$$
Also niemals (den letzten Schritt dürfen wir nur machen, wenn wir in \(\mathbb R\) sind, deshalb ist die Aussage für \(f(\pm\infty)\) wahr, für alle rellen \(x\) aber falsch).
Damit ist \(d(\infty,y)=0 \Leftrightarrow y=\infty\) und \(d(-\infty,y)=0 \Leftrightarrow y=-\infty.\)
Dreiecksungleichung:
genau gleich wie vorher, da wir wieder nur Funktionswerte von \(f\) hinzufügen, die alle in \(\mathbb R\) sind. Wäre das nicht der Fall, könnten wir diese Rechnung nicht anwenden, weil wir nicht \(-\infty +\infty\) hinzufügen können (\(\infty -\infty\) ist nicht definiert, deshalb nicht unbedingt Null.)
Tadaa, eine Metrik auf \(\overline {\mathbb R}\)!
