Beweis für (x1 + ... + xn) * (1/x1 + ... + 1/xn) ≥ n^2 mit n ∈ ℕ und alle x1, ... , xn > 0

Question

ich hadere gerade mit folgender Aufgabe, die im Rahmen des Kapitels Körperaxiome / Anordnungsaxiome gestellt wird:

Beweisen Sie die folgende Aussage: Für alle n ∈ ℕ und alle x₁, ... , x_n > 0
gilt: (x₁ + ... + x_n) * (1/x₁ + ... + 1/x_n) ≥ n².

Als Tipp ist gegeben die folgende Aussage zu nutzen: Für alle x, y ∈ ℝ_>0 gilt: x/y + y/x ≥ 2.

Da hier hier über eine Ungleichung über n sprechen, gehe ich davon aus, dass per vollständiger Induktion zu beweisen ist.

Ich sehe auch, dass der Tipp dieselbe Form hat wie die zu beweisende Ungleichung für n = 2, nämlich x₁/x₂ + x₂/x₁ ≥ 2. Ich weiß allerdings nicht was mir das nutzt.

ich kann den Induktionsanfang für n=1: x₁/x₁ = 1 ≥ 1 = 1² ja leicht zeigen. Und auch die Induktionsvoraussetzung bekomme ich gebacken, allerdings packe ich den Induktionsschritt nicht.

Bin ich mit der vollständigen Induktion auf dem Holzweg? Denn der Tipp muss ja einen Sinn haben, den er aber bei der Induktion (meines Erachtens nach) nicht hat, weil er ja "nur" für ein festes n=2 gilt.

Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank
Belinda

Answer 1

die Aussage gilt offenbar für \(n=1\) und \(n=2\). Falls die Aussage für ein \(n>1\) gilt, folgt$$\quad\left(\sum_{k=1}^{n+1}x_k\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{x_k}\right)=\left(x_{n+1}+\sum_{k=1}^nx_k\right)\cdot\left(\frac1{x_{n+1}}+\sum_{k=1}^n\frac1{x_k}\right)$$$$=1+\left(x_{n+1}\cdot\sum_{k=1}^n\frac1{x_k}\right)+\left(\frac1{x_{n+1}}\cdot\sum_{k=1}^nx_k\right)+\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^n\frac1{x_k}\right)$$$$\overset{\color{blue}{\small{\textsf{IV}}}}\ge1+\sum_{k=1}^n\left(\frac{x_{n+1}}{x_k}+\frac{x_k}{x_{n+1}}\right)+n^2$$$$\overset{\color{blue}{\small{\textsf{Tipp}}}}\ge1+\sum_{k=1}^n2+n^2=1+2n+n^2=(n+1)^2.$$Gruß