Zeige, dass || f || eine Norm auf B([a,b]) ist

Question

Sei B([a, b]) der Raum aller beschränkten Funktionen f : [a, b] → ℝ. Zeige:

$$ ||f||\quad :=\quad \underset { x\in [a,\quad b] }{ sup } |f\left( x \right) | $$  ist eine Norm auf B([a, b)], d.h. dass ||.|| die folgenden Axiome erfüllt:  (1) ||f|| = 0 ⇔ f(x) = 0 ∀x∈ [a, b]  (2) ||λ f|| = |λ| ||f|| ∀λ ∈ ℝ, f ∈ B([a, b])  (3) || f+g || ≤ ||f|| + ||g|| ∀f,g ∈ ([a, b])

Answer 1

es fehlt (1a): \( \Vert f \Vert \geq 0 \) als wichtige Eigenschaft einer Norm. Dein (1) wird dann zu (1b) und ergibt sich bei vielen Normen wegen (1a) automatisch.

Ansonsten: Setze ein und prüfen nach.

Grüße,

M.B.

Comments

Ich habe das mit dem Einsetzen versucht, zum Beispiel bei (2):   $$ \left\| \lambda *\underset { x\in \left[ a,b \right]  }{ sup\left| f\left( x \right)  \right|  }  \right\| =\quad \left| \lambda  \right| *\left\| \underset { x\in \left[ a,b \right]  }{ sup\left| f\left( x \right)  \right|  }  \right\|  $$  wie erkläre ich jetzt warum das so gilt?

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Dein Ansatz ist falsch:

$$ \left \| \lambda f \right \| = \sup | \lambda f | = \dots $$

Grüße,

M.B.

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Ich steh total auf der Leitung bez. wie es weitergeht