Du darfst nur die Körperaxiome benutzen, um das zu zeigen.
Ich würde ja so vorgehen: \(-x\) ist ja das additive Inverse von \(x\):
$$x(-y)+(-x)(-y)=[\text{Distributivgesetz}]=(x-x)\cdot(-y)=0\cdot(-y).$$ Einerseits ist jetzt \(0\cdot(-y)=(0+0)\cdot(-y)=0\cdot(-y)+0\cdot(-y).\) Andererseits ist \(0\cdot(-y)=0\cdot(-y)+0.\) Also gilt:
$$0\cdot(-y)+0\cdot(-y)=0\cdot(-y)+0\quad|-0\cdot(-y)$$ $$0\cdot(-y)=0\cdot(-y)+0-0\cdot(-y)=0\cdot(-y)-0\cdot(-y)+0=0.$$ wegen der geforderten Eigenschaften des neutralen Elements der Addition \(0.\)
Also ist \(x\cdot(-y)+(-x)\cdot(-y)=0\Leftrightarrow (-x)\cdot(-y)=-(x\cdot(-y)).\)
Dasselbe für \(x\cdot(y-y)\) und du solltest die Aussage bewiesen haben.
Achso, zuletzt noch: \((-x)\cdot(-y)=-(-(x\cdot y)).\)
Dann musst du noch beweisen, dass \(-(-(x\cdot y))=x\cdot y\).
Dazu sei \(-t\) das Inverse von \(t\in K\). Da gilt:
$$-(-t)+(-t)=0$$ kann man auf beiden Seiten \(t\) addieren und erhält
$$-(-t)+(-t)+t=0+t.$$ Da aber \(-t\) das Inverse von \(t\) ist, ist die linke Seite der Gleichung \(-(-t)+0=-(-t)\) und die rechte Seite \(0+t=t\). Deshalb ist für \(t=x\cdot y\) die obige Aussage wahr.
