Untermanigfaltigkeit,Isomorph einer Menge zeigen

Question

Aufgabe:

Sei \( SL_2 (\mathbb R)=\{A \in M_{2x2}(\mathbb R)| det(A)=1\} \)

1) Zeigen Sie, dass \( M_2(\mathbb R) \simeq \mathbb R^4 \) und beschreiben Sie \( SL_2(\mathbb R) \) als Teilmenge des \( \mathbb R^4 \).

2) Zeigen Sie, dass \( SL_2(\mathbb R) \) die Nieveaumenge einer stetig differenzierbaren Funktion ist und dass der entsprechender Wert regulär ist.

3) Zeigen Sie, dass \( SL_2(\mathbb R) \) eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit von \( \mathbb R^4 \) ist.

Ansätze:

zu 1) Ich muss erstmal zeigen, dass die beiden Mengen Isomorph zueinander sind. Das es also eine bijektive Abbildung gibt. Wie ist \( M_2(\mathbb R) \) aber definiert?Und wie ich die Menge der Matrizen deren determinate 1 ist also Teilmenge \( \mathbb R^4 \)?

zu 2 und 3) Keine Ahnung, wie ich da etwas zeigen soll.

Comments

$$M_2 (\mathbb R)$$ ist natürlich die Menge der quadratischen zwei kreuz zwei Matrizen. Aber auch hier weiß ich nicht wie zeige, dass die Menge Bijektiv zum \( \mathbb R^4 \) ist.

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Das ist doch voellig trivial: $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mapsto(a,b,c,d)$$