Ein Basis im R4 bestimmen

Question

Hallo wenn man überprüfen wolle ob das vektorsystem (V1,..V4) eine basis des R⁴ ist muss  man doch 2 Eigenschaften untersuchen .

(v1, .... ,v4) ist linear unabhängig

Uni die lineare hülle L ( v1,...,v4) ist ein erzeugensystem von R⁴ .

Gegeben sind :

V1 =( 2,1,0,0) V2= ( 4,2,1,0) V3= ( 0,4,2,1) V4= ( 0,0,4,2)

die Unabhängigkeit habe ich mit dem Gaußverfahren errechnet .  Aber wie sehe ich ob das System nun ganz R⁴ aufspannt?

So weit ich weiß spannt (1 0 0 0) ,(0 1 0 0),(0 0 1 0),(0 0 0 1) den R⁴ auf . Aber wie kann das nun auch mein v1..v4 machen ? Danke !!!

Answer 1

eine Basis im \( \Bbb R^4 \) hat genau 4 unabhängie Vektoren, das reicht.

(Würde es nicht ganz \( \Bbb R^4 \) aufspannen, das wäre das Erzeugnis ein Unterraum, der hätte aber maximal die Dimension 3, und dann dürften die 4 Vektoren nicht mehr unabhängig sein.)

Aber wenn Du unbedingt noch einen (weiteren) Beweis willst, kannst Du das Bild Deiner 4 Vektoren bestimmen.

Grüße,

M.B.

Comments

Also verstehe ich das richtig das wenn ich für den Rⁿ genau  n verschiedene lineare unabhängige Vektoren habe mit n Einträgen natürlich   ( egal wie diese dann aussehen  ) dann ist dieses System aus den n Vektoren immer eine basis des Rⁿ ?

Was ein Bild sein soll hier weiß ich leider nicht so weit sind wir dann noch nicht in der Vo .

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so ist die Definition einer Basis.

Das Bild, ist die Menge, die man erzeugen kann. Bei Funktion nennt man das Wertemenge.

Grüße,

M.B.