Komplexe Menge skizzieren und berechnen: Im(z^2)<Re(z^2)+|z|^2

Question

ich sitze den ganzen Tag schon an den folgenden 3 Aufgaben und verzweifele.
Bei 1) bin ich für den linken Teil |z+3i|<4 darauf gekommen, dass es sich hier um einen Kreis handelt der bei -3i seinen Mittelpunkt mit dem Radius 4 hat (ohne Rand da echt kleiner 4) - rechts bin ich mir nicht ganz sicher, denke aber einen Kreis mit r=4 mit dem Mittelpunkt 3 auf der Realachse.

Rechnerisch komme ich momentan bei A,B und C auf keinen Nenner! Wäre super wenn mir ein Spzialist das durchspielen könnte, so dass ich auch die einzelnen Schritte nachvollziehen kann.

VIELEN VIELEN DANK VORAB

Answer 1

$$ \frac{\vert z-1   \vert }{\vert z-i   \vert } \ge 1$$
$$ z = a+ib$$
$$ \frac{\vert (a+ib)-1   \vert }{\vert (a+ib)-i   \vert } \ge 1$$
$$ \frac{\vert (a-1) +ib  \vert }{\vert a+i(b-1)   \vert } \ge 1$$
$$ \frac{\sqrt{ (a-1)^2 +b^2} }{\sqrt{ a^2+(b-1)^2   }} \ge 1$$
$$ \frac{ (a-1)^2 +b^2 }{ a^2+(b-1)^2   } \ge 1$$
$$  (a-1)^2 +b^2 \ge  a^2+(b-1)^2 $$
$$  a^2-2a+1 +b^2 \ge  a^2+b^2-2b+1 $$
$$  -2a \ge -2b $$
$$  -a \ge -b $$
$$  a \le b $$