Bestimmen sie den Konvergenzradius und Entwicklunspunkt

Question

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 2z }^{ n } }{ { n3 }^{ n+1 }-{ 3 }^{ n } }  } $$

durch umstellen kommt man auf: $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ n{ 3 }^{ n+1 }-{ 3 }^{ n } } *2(z-o{ ) }^{ n } } $$

also Entwicklungspunkt 0

wie bekomme ich jetzt den Konvergenzradius ?

Answer 1

Koeffizienten sind  2 /  ( n*3ⁿ⁺¹ - 3ⁿ ) =   2 /  ( 3ⁿ * ( 3n-1) )

Mit Quotientenkriterium:     a_n / a_n+1

=   2 /  ( 3ⁿ * ( 3n-1) )        :      2 /  ( 3ⁿ⁺¹ * ( 3(n+1)-1) ) 

=    ( 3ⁿ⁺¹ * ( 3n+2) )   /     ( 3ⁿ * ( 3n-1) )   

= 3 * ( 3n+2) /   ( 3n-1) )     geht für n gegen unendlich gegen 3,

also Konvergenzradius = 3 


 

Comments

Danke für die schnelle Antwort, wie kann ich denn jetzt die Punkte auf dem Rand auf das Konvergenzverhalten untersuchen.

Kann man da mit dem Ansatz: Für die Punkte z auf dem Rand  $$ |z|<9\quad gilt\\ |z|=9\quad $$

aber wie kann ich das in die Gleichung einsetzen ?

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Ist das z denn reell oder komplex ?

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z ist komplex. Sorry dass ich das nicht dazugeschrieben habe

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3*(3n+2)/(3n-1) strebt gegen 3.

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Oh ja, waren ein bißchen viel 3en, ich korrigiere:

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@nuno1721: 

Auf dem Rand konvergiert es wohl eher nicht,   denn dann müsste

auch die Reihe der Beträge konvergieren und die ist ja

∑  2*3^n / ( 3n * ( 3n - 1 ) )   = ∑  2 / ( 3n - 1 )

und würde das konvergieren, dann auch  ∑  2 / ( 3n ) als

Minorante  , aber dann auch  2/3 * ∑  1/ n  im Widerspruch

zur Divergenz der harmonischen Reihe.