Lösbarkeit Koeffizientenmatrix

Question

"Ein reelles lineares System mit 7 × 4-Koeffizientenmatrix und 4-stufiger Zeilenstufenform der Koeffizientenmatrix hat höchstens eine Lösung".

Man soll begründen, ob diese Aussage richtig oder falsch ist.

Also ich habe irgendwo gelesen, dass wenn r(A)=r(A,b) gilt, das System lösbar sei, richtig?

Aber wie ermittle ich r(A,b) in diesem Fall?

Dieses System müsste 4 Unbekannte und r(A)=4 haben, also müsste die Lösung auch eindeutig sein, richtig?

Comments

mit "r" ist der "rang" gemeint

also r(A) ist der Rang der Koeffizientenmatrix und r(A,b) der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Answer 1

r hat einige tausend Bedeutungen. Nimm also nicht an, jeder müsste das begreifen, was Du meinst, aber nicht für nötig hältst hinzuschreiben.

Benutze u.a. \( rang(A) = rang(A^T) \).

Grüße,

M.B.

Comments

Danke für den Hinweis.

Kannst du mir bei der Aufgabe helfen?

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eine 7x4-Matrix könnte hypothetisch die Ränge von 0 bis 7 haben. Die transponierte 4x7-Matrix könnte hypothetisch die Ränge von 0 bis 4 haben. Da beide Ränge aber übereinstimmen müssen, kann auch erste nur Ränge von 0 bis 4 haben.

Nun hat die Matrix eine 4stufige ZSF und damit maximalen Rang.

Grüße,

M.B.

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Danke,
wenn also die Matrix nun Rang 4 hat, ist die Aussage wahr, weil es auch 4 Unbekannte gibt. Richtig?
Ich verstehe nur nicht ganz, warum du über die transponierte Matrix schreibst, weil ich die ganze Zeit die erweiterte Koeffizientenmatrix im Kopf habe/hatte....

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da Du vollen Rang hast, spielt b keine Rolle.

Grüße,

M.B.

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Ok danke

Liege ich jetzt richtig mit der Einschätzung der Aussage?

Gruß

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ja.

(Wobei "höchstens" ein Euphemismus ist, da genau eine Lösung existiert.)

Grüße,

M.B.