graphen der reellen funktionen

Question

 f₁(x)= -(x+2)²-1            f₂(x)=x+0,25     schneiden sich in den punkten  s1 und s2

a) Bestimme sie s1 und s2 rechnerisch und zeichnerisch

b) Ermitteln sie den funktionsterm der linearen funktion, deren graph den graphen der funktion f2 im punkt s1 rechtwinklig schneidet.

Answer 1

~plot~ -(x+2)^2-1;x+0,25 ~plot~

also Schnittpunkte ( -1,5 ; -1,25 ) und ( -3,5  ;  -3,25 )

rechnen:   -(x+2)^2-1  =  x+0,25gibt   x^2 + 5x + 5,25 = 0

also x=-1,5  oder  x = -3,5   Passt !

Answer 2

f₁(x) ist eine nach unten geöffnete Normalparabel, die an der x-Achse um 2 nach links verschoben wurde und an der y-Achse um 1 nach unten. f₂(x) ist eine Gerade, die durch die Punkte (0,0.25) und (1,1.25) verläuft.

Zeichnung sieht dann ungefähr so aus:

~plot~ -(x+2)^2-1;x+0.25 ~plot~

Man kann die Schnittpunkte dort grob ablesen:

S1 (-1.5,-1.25)

S2 (-3.5,-3.25)

(Wenn du die Zeichnung auf Papier machst, erkennst du die Schnittpunkte nicht unbedingt perfekt, aber das ist nicht so schlimm, deshalb berechnet man die Schnittpunkte zusätzlich)

Gleichsetzen:

f₁(x)=f₂(x)

-(x+2)^2-1=x+0.25

-(x+2)^2-x-1.25=0

-x^2-4x-4-x-1.25=0

x^2+4x+4+x+1.25=0

x^2+5x+5.25=0

(x+2.5)^2-6.25+5.25=0

(x+2.5)^2=1

|x+2.5|=1

x₁=-1.5

x₂=-3.5

f₁(-1.5)=-1.25

f₁(-3.5)=-3.25

b) Damit die neue Gerade g senkrecht auf der alten steht, muss gelten m₂=-1/m₁

m₁=1 ---> m₂=-1

Sie muss durch (-1.5,-1.25) verlaufen

also g(x)=-x+n , n unbekannt

g(-1.5)=-1.25

1.5+n=-1.25

n=-2.75

g(x)=-x-2.75