Umkreismittelpunkt Abszisse ändern

Question

komm bei ner Aufgabe nicht weiter. Hab erst von nem Dreieck ABC den Umkreismittelpunkt berechnet, aber nun soll ich noch 'zeigen', dass AM = BM = CM gilt.

A(-1|-2) B(4|-2) C(7|2) 

Umkreismittelpunkt = (1,5|3) hab ich berechnet, stimmt auch laut Internettechner.

Dabei steht noch: Lösungshinweis: Begründe, dass M den Abstissenwer +1,5 besitzen muss. Ermittle dann für M(1,5|y) den Wert für y, sodass MA = MC gilt. 

 

Hab nachgerechnet AM = BM, aber CM stimmt nicht überein, wie muss ich vorgen?

lg und danke

Answer 1

Zeichne dir das ganze doch einfach mal. Dann kannst du die Gegebenheiten besser sehen:

Comments

Hab ich schon gemacht, nur komme ich auf keinen Rechen- geschweigedenn Lösungsansatz? Kannst du mir bitte ein bisschen auf die Sprunge helfen?
Gruß

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Lösungshinweis: Begründe, dass M den Abstissenwer +1,5 besitzen muss.

A und B haben die gleiche y-Koordinate. Die Seite AB liegt also parallel zur x-Achse. Die Mittelsenkrechte damit zwangsläufig parallel zur y-Achse. Und zwar durch die Seitenmitte bei

1/2 * (-1 + 4) = 1.5

Ermittle dann für M(1,5|y) den Wert für y, sodass MA = MC gilt. 

([1.5, y] - [-1, -2])^2 = ([1.5, y] - [7, 2])^2
y^2 + 4·y + 10.25 = | y^2 - 4·y + 34.25 |
y = 3

Damit liegt der Mittelpunkt bei M(1.5 | 3)

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Wir berechnen noch die Abstände zum Quadrat damit du siehst das es stimmt.

([1.5, 3] - [-1, -2])^2 = 31.25

([1.5, 3] - [4, -2])^2 = 31.25

([1.5, 3] - [7, 2])^2 = 31.25

Damit sind die Abstände jeweils √31.25 = 5.590169943

Answer 2

Die im Lösungshinweis "geforderte" Begründung ist:

Da A und B denselben Ordinatenwert haben (nämlich - 2) und gleichweit von M entfernt sein müssen (da auf dem Umkreis liegend) muss das Dreieck AMB ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis AB sein. Der Fußpunkt der Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks aber halbiert gerade dessen Basis und wegen der Gleichheit der Ordinatenwerte von A und B muss diese Höhe senkrecht auf der Abszisse stehen. Das aber bedeutet, dass die Abszissenwerte des Höhenfußpunktes und des Umkreismittelpunktes gleich sein müssen und dass dieser Wert in der Mitte zwischen den Abszissen der Punkte A und B liegen muss, also:

Abszisse M = ( Abszisse A + Abszisse B ) / 2 = ( - 1 + 4 ) / 2 = 1,5

Die weitere Berechnung ergibt für die Ordinate ym von M: ym = 3.

Soweit hast du also richtig gerechnet.

Bei der Prüfung, ob gilt: | AM | = | BM |  = | CM | musst du dich dann aber wohl verrechnet haben, denn es gilt:

| AM | = | BM | = | CM | = √ 31,25