Beweise und Aufgabe zum Grenzwert

Question

a.)Zeige dass: lim q_n=0, wenn Betrag von q<1 ist (limes von n gegen unendlich)
b.) Bestimme den Folgenindex n₀, ab dem q_n (Betrag von q<1) kleiner als ε=1/1000 ist. Berechne n₀ konkret für q=1/2
c.) Was passiert, wenn Betrag von q =1 ist?
d.) Was passiert wenn Betrag von q>1 ist?

Comments

Da fehlt noch die Angabe von qn.

Answer 1

Soll wohl  qⁿ  heißen ???.  Dann muss ja gelten:

Zu jedem eps > 0 gibt es ein no mit n>no ⇒ | qⁿ - 0 | < eps

also      | qⁿ | < eps   das sit aber  | q | ⁿ < eps

                             also da ln streng monoton wachsend

                                             n * ln (|q| )  < ln ( eps )

und wenn du durch   ln (|q| ) dividierst ( das ist wegen |q| < 1 negativ ) hast du

                                             n >  ln(eps) /  ln ( |q| )

Wähle also no >   ln(eps) /  ln ( |q| )   , das geht nach Axiom des Archimedes,

dann hast du es.

b) Bestimme den Folgenindex n₀, ab dem q_n (Betrag von q<1) kleiner als ε=1/1000 ist.    
   
Berechne n₀ konkret für q=1/2

also    ε=1/1000   und   q=1/2
 
dann ist      ln(eps) /  ln ( |q| )   = -6,9 /  -0,69   =  10 

Also  n_o = 10