Einem Dreick quadrate einordnen.

Question

Hallo bei der vergangen Prüfung kam folgende Frage vor die ich leider nicht beantworten konnte ,

Kann sie jemand von euch beantworten? Würde mir sehr helfen !

Answer 1

Seitenlänge des ersten Quadrates sei a.

Nimmt man die obere Seite des ersten Quadrates als Grundseite eines neuen gleichschenkligen Dreiecks, dann hat dieses Dreieck die Grundseite a und die Höhe h-a.

Wegen Strahlensatz gilt c/h = a/(h-a). Nach a aufgelöst ist a = ch/(h+c).

Damit lässt sich der Umfang der ersten vier Quadrate berechnen.

Die Summe der Seitenlängen der Quadrate strebt für n→∞ gegen die Höhe des Dreiecks. Die Summe aller Umfänge strebt demnach gegen das vierfache der Höhe.

Sei q_i = Q_i..∞/D_i, wobei Q_i..∞ die Summe der Flächeninhalte der Quadrate ab dem i-ten Quadrat ist und D_i der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks, in das das i-te Quadrat einbeschreiben ist.

Wegen Ähnlichkeit ist q₁ = q₂. Deshalb gilt

    q₁ = Q_1..∞/D₁,

        = a²/D₁ + Q_2..∞/D₁

        = a²/D₁ + D₂/D₁·Q_2..∞/D₂.

        = a²/D₁ + D₂/D₁·q₂.

        = a²/D₁ + D₂/D₁·q₁.

und somit

        q₁ = a²/(D₁ - D₂).

Also ist 

        Q_1..∞/D₁ = a²/(D₁ - D₂)

und somit 

        Q_1..∞ = a²D₁/(D₁ - D₂)