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Hallo bei der vergangen Prüfung kam folgende Frage vor die ich leider nicht beantworten konnte ,

Kann sie jemand von euch beantworten? Würde mir sehr helfen !

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Seitenlänge des ersten Quadrates sei a.

Nimmt man die obere Seite des ersten Quadrates als Grundseite eines neuen gleichschenkligen Dreiecks, dann hat dieses Dreieck die Grundseite a und die Höhe h-a.

Wegen Strahlensatz gilt c/h = a/(h-a). Nach a aufgelöst ist a = ch/(h+c).

Damit lässt sich der Umfang der ersten vier Quadrate berechnen.

Die Summe der Seitenlängen der Quadrate strebt für n→∞ gegen die Höhe des Dreiecks. Die Summe aller Umfänge strebt demnach gegen das vierfache der Höhe.

Sei qi = Qi..∞/Di, wobei Qi..∞ die Summe der Flächeninhalte der Quadrate ab dem i-ten Quadrat ist und Di der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks, in das das i-te Quadrat einbeschreiben ist.

Wegen Ähnlichkeit ist q1 = q2. Deshalb gilt

    q1 = Q1..∞/D1,

        = a2/D1 + Q2..∞/D1

        = a2/D1 + D2/D1·Q2..∞/D2.

        = a2/D1 + D2/D1·q2.

        = a2/D1 + D2/D1·q1.

und somit

        q1 = a2/(D1 - D2).

Also ist

        Q1..∞/D1 = a2/(D1 - D2)

und somit

        Q1..∞ = a2D1/(D1 - D2)

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