a) (i) Für Untergruppe musst du zeigen.
1. Abgeschlossenheit: Sind a,b aus dem Kern, dann auch a•b.
Dem ist so, weil wenn a,b aus dem Kern dann
Φ(a) = Φ(b) = eH und es ist
Φ(a•b) =Φ(a) * Φ(b) (wegen Hom.)
= eH * eH = eH also a•b im Kern von Φ.
2. eG im Kern von Φ. wieder wegen Hom
Φ(eG ) = eH
3. zu jedem a aus Kern von Φ ist auch a-1 aus Kern von Φ.
stimmt auch, da mit Φ(a) = e
H auch Φ(a
-1) = e
H Zeigst du durch Φ(a
-1) = Φ(a
-1) * e
H = Φ(a
-1) * Φ(a) = Φ(a
-1• a) ( wegen Hom ! )
= Φ(e
G ) = e
H (ii) Beweisidee: Sei Φ Injektiv. Wegen Φ(e
G ) = e
H ist also jedes a aus dem Kern gleich eG .
ungekehrt: Sei Kern = { e
G }
Φ(a) = Φ(b) dann Φ(a
-1• b) = e
H also a
-1• b = eG also a=b .
