funktionsgleichung bestimmen mit komplexen Nullstellen

Question

vom einem rellen Polynom vierten Grades ist bekannt, dass x1=1+i ∈ℂ eine dóppelte Nullstelle ist.Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Information P(i).Nach dem Fundamentalsatz der Algebra weiß man ja, dass auch x2=1-i eine doppelte Nullstelle sein muss. Zudem ist eine doppelte Nullstelle ja ein Extrempunkt.Man hat ja die allgemeine Form einer Funktion vierten Grades:ax^4+bx^3+cx^2+dx+eMan braucht also fünf Gleichungen um alle Unbekannten zu bestimmen.Wie lauten diese Gleichungen? Oder braucht man hier einen anderen Ansatz?

Comments

Es soll nicht das Polynom bestimmt werden!

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Ja, aber um einen Funktionswert auszurechnen braucht man doch ´das Polynom oder nicht?

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Éin kleiner Hinweis wäre sehr nett, dann versuche ich es selbst mal :)

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Ich komme auch nur bis

$$ P(x)=a\cdot (x^2-2*x+2)^2 $$ und $$ P(i)=a\cdot (-3- 4i). $$

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Muss man hier bei der Aufgabe das a bestimmen?P(i)=a*(-3-4i)Wie soll man denn hier weitermachen?

Answer 1

Hi Simon,

Es gibt unendlich viele Möglichkeiten. Nutze einen Parameter und gehe über den Nullstellensatz.

Reicht das.schon als Tipp?

Grüße 

Comments

Danke.Muss man bei dieser Aufgabe das a (Im Kommentar oben) ausrechnen um P(i) berechnen zu können. ?

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Nein, a bleibt Dir erhalten. Ein Parameter, der die unendlichen Lösungen symbolisiert :).

Fang einfach mal an und zeig her :)

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Alles klar? ;)

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Man weiß ja das auch die konjugierT komplexe eine doppelte Nullstelle ist. Und eine doppelte Nullstelle ist ja auch ein Extrempunkt. Reicht das nicht um das a zu bestimmen? Sind doch viele Bedingungen ;)

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Doppelte Nullstelle und Extremum ist die gleiche Information. Kannst Du also nicht weiter verwenden. Dass das konjugiertkomplexe vorliegt erlaubt uns überhaupt eine Funktion vierten Grades mit nur einem Parameter aufzustellen :D.

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Also in der schule hat man aus einer doppelten Nullstelle immer zwei Bedingungen aufgestellt. einmal eine Gleichung mit f (x) =0 und f'(x)=0 Warum geht das hier nicht?

Und die Lösung oben im  Kommentar unter der Frage ist faktisch schon die Lösung der Aufgabe?

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Oben wurde mit den Nullstellen gearbeitet und diese quadriert. Das Quadrat ist die Anwendung der Informatioj über die doppelte Nullstelle ;).

Yup, obiges ist Lösung. 

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OkWenn man das alternativ mit einem LGS gelöst hätte hätte man vier Gleichungen aus den Informationen bekommen (zwei aus den Nullstellen und zwei aus den Extremstellen) oder?

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Genau. Würde man hier des Aufwands wegen aber eher vermeiden^^.

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Da hätte man in Klausuren wahrscheinlich auch keine Zeit dafür :D